专题17 导数的基本应用（讲）【原卷版】（理科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 17 导数的基本应用

1．（2020 年高考全国Ⅰ卷理数 6）函数的图像在点处的切线方程为（）

A． B． C． D．

2．（2019 浙江高考）已知，函数．若函数

恰有 3个零点，则

A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0 C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0

3．（2019 年高考天津理数）已知，设函数若关于的不等式在

上恒成立，则的取值范围为

A． B． C． D．

4．（2020 年高考全国Ⅰ卷文数 15）曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为

．

一、考向分析：

二、考向讲解

考查内容解题技巧

函数与导数

导数的几

何意义

导数与函

数单调性

导数与函的

极值、最值导数与不等式导数与零点

导数的几

何意义

1．求切线方程的方法

(1)求曲线在点 P处的切线，则表明 P点是切点，只需求出函数在点 P处的导数，然后

利用点斜式写出切线方程．

(2)求曲线过点 P的切线，则 P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐

标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程．

2．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并

解出参数．

(1)切点处的导数是切线的斜率．(2)切点在切线上．(3)切点在曲线上．

导数与函

数单调性

1、确定函数单调区间的步骤

（1）确定函数 f(x)的定义域．（2）求 f′(x)．

（3）解不等式 f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．

（4）解不等式 f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

2．函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，“f′(x)>0 在(a，b)上成立”是“f(x)在

(a，b)上单调递增”的充分不必要条件．

3、根据函数单调性求参数的一般思路

(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间

的子集．

(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a，b)都有 f′(x)≥0 且在(a，b)内的任一非空子

区间上 f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．

4、划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0的点和函数的间断

点．

5、个别导数为 0的点不影响所在区间的单调性，如 f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时

取到)，f(x)在R上是增函数．

导数与函数

极值、最值

1、函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）知图判断函数极值的情况．先找导数为 0的点，再判断导数为 0的点的左、右两侧的

导数符号．

（2）已知函数求极值．求 f′(x)―→求方程 f′(x)＝0的根―→列表检验 f′(x)在f′(x)＝0的根的

附近两侧的符号―→下结论．

（3）已知极值求参数．若函数 f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则 f′(x0)＝0，且在该点左、右

两侧的导数值符号相反．

2、求函数 f(x)在闭区间[a，b]内的最大值和最小值的思路：

若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数 f(x)求导，并求 f′(x)＝0在区间[a，b]

内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一

个是最大值，最小的一个是最小值．若所给的闭区间[a，b]含有参数，则需对函数 f(x)求

导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数 f(x)的最值．

1．利用导数比较大小或解不等式的常用技巧

导数与

不等式

利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研

究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．

2、对于不等式的证明问题可考虑：①通过研究函数的单调性进行证明；②根据不等式的结

构构造新函数，通过研究新函数的单调性或最值来证明．有些不等式直接移项、构造函数

证明会导致运算量很大，而先通过化简、变形，再移项构造不等式就减少运算量，使得问

题顺利解决．

3．函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题

时常根据已知的函数不等式，用关于正整数 n的不等式替代函数不等式中的自变量，通过多

次求和达到证明的目的．此类问题一般至少 2问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特

征而得到．

4．已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指

数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如 ex>x＋1可化为 ln(x＋1)<x等．

5、利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如 a≥f(x)(或

a≤f(x))的形式，通过求函数 y＝f(x)的最值求得参数范围．恒成立问题的求解方法：a≥f(x)在

x∈D上恒成立，则 a≥f(x)max(x∈D)；a≤f(x)在x∈D上恒成立，则 a≤f(x)min．

6、含全称、存在量词不等式恒成立问题的方法

（1）存在x1A∈，任意 x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，则 f(x)max≥g(x)max．

（2）任意 x1A∈，存在x2B∈，使 f(x1)≥g(x2)成立，则 f(x)min≥g(x)min．

（3）任意 x1∈A，x2B∈，使 f(x1)≥g(x2)，则 f(x)min≥g(x)max．

（4）存在x1∈A，x2B∈，使 f(x1)≤g(x2)，则 f(x)min≤g(x)max．

导数与零点

1、利用导数确定函数零点或方程根个数的方法

（1）构建函数 g(x)(要求 g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定 g(x)的零点个数问题求

解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，

画出g(x)的图象草图，数形结合求解．

（2）利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研

究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．

3、与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合

特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范

围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．

考查导数几何意义：

【例 1】（2021·四川云南贵州西藏四省名校一联）曲线在点处的切线方程为（）

A． B． C． D．

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