专题19利用导数证明不等式（讲）【原卷版】（理科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 19 利用导数证明不等式（讲）（理）

导数中的不等式证明经常被考查，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽

然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采

用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果。考查重点是用导数证明不等式问题，此类问题难

度属于中高档，一般以解答题的形式出现。

1.（2021 年全国高考乙卷数学（理）试题）设函数，已知是函数

的极值点．

（1）求 a；

（2）设函数．证明:．

2．（2021 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数 .

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明： .

3．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知函数 f(x)=sin2xsin2x.

（1）讨论 f(x)在区间(0，π)的单调性；

（2）证明：；

（3）设 n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ .

一、考向分析：

二、考向讲解

考查内容解题技巧

导数的几

何意义

1．求切线方程的方法

(1)求曲线在点 P处的切线，则表明 P点是切点，只需求出函数在点 P处的

导数，然后利用点斜式写出切线方程．

(2)求曲线过点 P的切线，则 P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后

列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程．

2．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参

数的方程并解出参数．

(1)切点处的导数是切线的斜率．(2)切点在切线上．(3)切点在曲线上．

导数与函

1、确定函数单调区间的步骤

（1）确定函数 f(x)的定义域．（2）求 f′(x)．

（3）解不等式 f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．

（4）解不等式 f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

2．函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，“f′(x)>0 在(a，b)上成立”是“f(x)

函数与导数

导数的几

何意义

导数与函

数单调性

导数与函的

极值、最值导数与不等式导数与零点

数单调性在

(a，b)上单调递增”的充分不必要条件．

3、根据函数单调性求参数的一般思路

(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相

应单调区间的子集．

(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a，b)都有 f′(x)≥0 且在(a，b)内的

任一非空子区间上 f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏

解．

4、划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0的点和

函数的间断点．

5、个别导数为 0的点不影响所在区间的单调性，如 f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝

0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．

导数与函

数

极值、最

值

1、函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）知图判断函数极值的情况．先找导数为 0的点，再判断导数为 0的点的

左、右两侧的导数符号．

（2）已知函数求极值．求 f′(x)―→求方程 f′(x)＝0的根―→列表检验 f′(x)在f′(x)

＝0的根的附近两侧的符号―→下结论．

（3）已知极值求参数．若函数 f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则 f′(x0)＝0，且在

该点左、右两侧的导数值符号相反．

2、求函数 f(x)在闭区间[a，b]内的最大值和最小值的思路：

若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数 f(x)求导，并求 f′(x)＝0在

区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与 f(a)，f(b)

比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．若所给的闭区间[a，b]

含有参数，则需对函数 f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从

而得到函数 f(x)的最值．

导数与

1．利用导数比较大小或解不等式的常用技巧

利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先

利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．

2、对于不等式的证明问题可考虑：①通过研究函数的单调性进行证明；②根据

不等式的结构构造新函数，通过研究新函数的单调性或最值来证明．有些不等

式直接移项、构造函数证明会导致运算量很大，而先通过化简、变形，再移项

构造不等式就减少运算量，使得问题顺利解决．

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