专题23 回归方程（解析版）-2022届高考数学一模试题分类汇编（新高考卷）
23 回归方程【2022 届新高考一模试题分类汇编】
一、解答题
1．（2022·河北唐山·高三期末）某统计部门依据《中国统计年鉴——2017》提供的数据，对我国 1997-
2016 年的国内生产总值（GDP）进行统计研究，作出了两张散点图：图 1表示 1997-2016 年我国的国内生
产总值（GDP），图 2表示 2007-2016 年我国的国内生产总值（GDP）．
(1)用 表示第 i张图中的年份与 GDP 的线性相关系数， ，依据散点图的特征分
别写出 的结果；
(2)分别用线性回归模型和指数回归模型对两张散点图进行回归拟合，分别计算出统计数据——相关指数
的数值，部分结果如下表所示：
年份 1997-2016 2007-2016
线性回归模型 0.9306
指数回归模型 0.9899 0.978
① 将上表中的数据补充完整（结果保留 3位小数，直接写在答题卡上）；
② 若估计 2017 年的 GDP，结合数据说明采用哪张图中的哪种回归模型会更精准一些？若按此回归模型来
估计，2020 年的 GDP 能否突破 100 万亿元？事实上，2020 年的 GDP 刚好突破了 100 万亿元，估计与事实
是否吻合？结合散点图解释说明.
【解析】(1)
由散点图可知，图 2拟合效果更好、相关系数较大，所以 ， ．
(2)①0.996
②由图2中的线性回归模型得到的相关指数为 0.996，是所有回归模型的相关指数中数值最大的，而且
2017 年是最近的年份，因此选择图 2中的线性回归模型来估计 2017 年的 GDP，是比较精准的．
按照图 2中的线性回归模型来估计（延长回归直线可发现），2020 年不能突破 100 万亿元．
估计与事实不吻合．综合两张图来考虑，我国的 GDP 随年份的增长整体上呈现指数增长的趋势，而且
2020 年比 2016 年又多发展了 4年，指数回归趋于明显，因此，按照线性回归模型得到的估计值与实际数
据有偏差、不吻合，属于正常现象．
2．（2022·贵州贵阳·高二期末（文））【阅读材料 1】
我们在研究两个变量之间的相关关系时，往往先选取若干个样本点（ ），（ ），……，（
），将样本点画在平面直角坐标系内，就得到样本的散点图.观察散点图，如果所有样本点都落在某一条直
线附近，变量之间就具有线性相关关系，如果所有的样本点都落在某一非线性函数图象附近，变量之间就
有非线性相关关系.在统计学中经常选择线性或非线性（函数）回归模型来刻画相关关系，并且可以用适当
的方法求出回归模型的方程，还常用相关指数 R2来刻画回归的效果，相关指数 R2的计算公式为：
当R2越大时，回归方程的拟合效果越好；当 R2越小时，回归方程的拟合效果越差，R2是常用的选择模型
的指标之一，在实际应用中应该尽量选择 R2较大的回归模型.
【阅读材料 2】
2021 年6月17 日9时22 分，我国酒泉卫星发射中心用长征二号 F遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载
人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪胺 3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志
着中国人首次进人自己的空间站.某公司负责生产的 A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十
分广泛，该公司为了将 A型材料更好地投入商用，拟对 A型材料进行应用改造，根据市场调研与模拟，得
到应用改造投入 x（亿元）与产品的直接收益 y（亿元）的数据统计如下：
序号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y15 22 27 40 48 54 60 68.5 68 67.5 66 65
当0<x≤13 时，建立了 与 的两个回归模型：
模型①:；模型②:；
当x>13 时，确定 y与x满足的线性回归直线方程为 .
根据以上阅读材料，解答以下问题：
(1)根据下列表格中的数据，比较当 0<x≤13 时模型①，②的相关指数 R2的大小，并选择拟合效果更好的模
型.
回归模型 模型① 模型②
回归方程
79.13 20.2
(2)当应用改造的投入为20 亿元时，以回归直线方程为预测依据，计算公司的收益约为多少.
附：①若最小二乘法求得回归直线方程为 ，则；
②
③，当 时， .
【解析】(1)对于模型①，
因为 ，故对应的 ，
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