专题30 圆锥曲线中的存在性问题（解析版）-2022届高考数学一模试题分类汇编（新高考卷）

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30 圆锥曲线中的存在性问题
【2022 届新高考一模试题分类汇编】
一、解答题
1．（2022·安徽六安·一模（理））已知椭圆 的左右焦点分别是 ， ，右顶点和上顶
点分别为 ， ， 的面积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)以此椭圆的上顶点 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角 ，这样的直角三角形是否存在？若存在，
请说明有几个；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)由题意得TTT TTT①TTTTT
因为 T，所以
②TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT
由①②得 ③，由②③得 ，
所以椭圆 方程为 ；
(2)假设能构成等腰直角 ，其中 B(0， 1)，由题意可知，直角边 不可能垂直或平行于 轴，
故可设 边所在直线的方程为 (不妨设 )
联立直线方程和椭圆方程得： ，得
，
用 代替上式中的 ，得 ，
由 得 ，
即 ， ，
故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形.
2．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，
点 在椭圆 上，且满足 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为坐标原点，过点 且斜率不为零的直线 交椭圆 于不同的两点 、 ，则在 轴上是否存在定
点 ，使得 平分 ？若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)（1）因为 ，所以， ，即 ，所以，
又点 在椭圆 上， 、 ，
且由椭圆定义得 ，
则 ， ，则椭圆 的标准方程为 .
(2)假设存在定点 满足要求，因为直线 斜率不为零，所以设直线 ，
设点 、 、 ，
联立 可得 ，则 ，
由韦达定理可得 ， ，
因为直线 平分 ，则 ，即 ，
，
整理得 ，
，由于 ， ，所以存在 满足要求．
3．（2022·山西晋中·二模（理））已知 ： 的离心率为 ，点 在椭圆上.
(1)求椭圆 C的方程；
(2)若直线 与椭圆 C交于 A，B两点，O为坐标原点，且 ，是否存在定圆 E，使得直
线 与圆 E相切？若不存在，说明理由，若存在，求出圆 E的方程.
【解析】(1)∵点 在椭圆上，∴ ，
∵椭圆的离心率 ，∴ ，
即 ，
代入 ，得到 ， ，
∴椭圆 的方程为 .
(2)
假设存在.∵ ，∴
得到 ，
① 当直线 的斜率不存在时，设 ： ，代入椭圆方程得 ，
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