专题30 【大题限时练30】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 30 大题限时练 30

1．记

为等比数列

{ }

的前

项和．已知

2S

，

6S 

．

（1）求

{ }

的通项公式；

（2）求

，并判断

S

，



是否成等差数列．

【答案】（1）

( 2)

a 

；（2）见解析

【详解】（1）设等比数列

{ }

首项为

，公比为

，

则

3 3 2

6 2 8a S S      

，则

12 2

aq q



 

，

aq q



 

，

由

1 2

2a a 

，

8 8 2

q q

 

 

，整理得：

4 4 0q q  

，解得：

2q 

，

则

2a 

，

( 2)( 2) ( 2)

n n



    

，

{ }

a

的通项公式

( 2)

a 

；

（2）由（1）可知：

(1 ) 2[1 ( 2) ] 1[2 ( 2) ]

1 1 ( 2) 3

a q



  

     

  

，

则

1[2 ( 2) ]



   

，

1[2 ( 2) ]



   

，

由

2 3

1 2

1 1

[2 ( 2) ] [2 ( 2) ]

3 3

n n

S S

 

       

，

1 2 1

1[4 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ]

n n 

         

，

1 1

[4 2( 2) ] 2 [ (2 ( 2) )]

3 3

n n 

        

，

S

，

即

1 2

n n n

S S S

 

 

，





，



成等差数列．

2．在 ①

sin sin 4 sin sinb A a B c A B 

，②

cos 2 2 3 sin 3 2

C  

，③

( 3 )sin sin sina b A b B c C  

，

这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．

已知

ABC

中，

，

分别为内角

，

的对边，

1 3

sin sin 4

A B 



，

2c

，______，求角

及

ABC

的面积

．

【答案】见解析

【详解】若选①

sin sin 4 sin sinb A a B c A B 

，

因为

sin sin 4 sin sinb A a B c A B 

，

所以由正弦定理得

sin sin sin sin 4sin sin sinB A A B C A B 

，

即

2sin sin 4sin sin sinB A C A B

，所以

sin 2

C

，

因为

(0, )C





，所以





，或





，

若





，由

1 3

sin sin 4

A B 



，

而





，





，

从而

sin sin 4

A B 

，矛盾，舍去．

故





，

接下来求

ABC

的面积

．

法一：设

ABC

外接圆的半径为

，则由正弦定理，得

2 4

sin sin 6



  

，

2 sin 4sina R A A  

，

2 sin 4sinb R B B 

，



16sin sin 4(1 3)ab A B  

，



1 1 1

sin 4(1 3) 1 3

2 2 2

ABC

S ab C



      

，

法二：由题意可得

cos 2

C

，即

cos cos sin sin 2

A B A B  

，



1 3

sin sin 4

A B 



，



1 3

cos cos 4

A B 



，



cos( ) cos cos sin sin 2

A B A B A B   

，



5 5

( , )

6 6

A B

 

  

，



A B



 

或

B A



 

，

当

A B



 

时，又

A B



 

，







，





，

由正弦定理，得

2sin

sin 42 2

sin sin 6

c B



  

，



1 1 7 2 1 2 3

sin 2 2 2sin 2 2( ) 1 3

2 2 12 2 2 2 2

ABC

S bc A



         

，

当

B A



 

时，同理可得

1 3

ABC

S 

，

故

ABC

的面积为

1 3

．

选②

cos 2 2 3 sin 3 2

C  

，

因为

cos 2 2 3 sin 3 2

C  

，

所以

2cos 1 3(1 cos ) 3 2 0C C     

，

即

2cos 3 cos 3 0C C  

，

(2 cos 3)(cos 3) 0C C  

，

所以

cos 2

C

或

cos 3C 

（舍

)

，

因为

(0, )C





，所以





，

以下同解法同①．

选③

( 3 )sin sin sina b A b B c C  

，

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