专题29 圆锥曲线中的最值、范围问题（解析版）-2022届高考数学一模试题分类汇编（新高考卷）

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29 圆锥曲线中的最值、范围问题

【2022 届新高考一模试题分类汇编】

一、解答题

1．（2022·辽宁大东·模拟预测）如图，已知椭圆：的左、右焦点为、，左、右顶点分别

为、，离心率，为椭圆上动点，直线交 y轴正半轴于点 A，直线交 y轴正半轴

于点 B（当 M为椭圆短轴上端点时，A，B，M重合）.

(1)求椭圆的方程；

(2)若，求直线的方程；

(3)设直线、的斜率分别为、，求的最大值.

【解析】(1)因为椭圆的离心率为，故即，

故，所以椭圆的方程为： .

(2)设，因为直线交 y轴正半轴于点 A，则，，

又，故，

，故，

因为，故，所以，所以，

故即 .

(3)由（2）可得，而，

故，

因为，故，故的最大值为 .

2．（2022·河北·模拟预测）已知椭圆的离心率为，短轴长为，直线 l与椭圆

C交于 A，B两点.

(1)求椭圆 C的标准方程；

(2)若线段的中点为 P，O为坐标原点，当面积取最大值时，求线段长度的最小值.

【解析】(1)∵离心率，∴设，则，∴ .

∴ ，∴ ，∴椭圆的标准方程为 .

(2)当直线 l的斜率存在时，设其方程为 .

联立直线方程组消 y得，即 .

设，由韦达定理得 .

∴

，

当时，S取得最大值，此时 .

又，，∴ .

∴.

∵ ，∴ ，∴ .

当直线 l的斜率不存在时，设，则 .

∴ ，即当时，的面积取最大值 .

此时 .综上所述，的最小值为 .

3．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，

经椭圆反射后必经过另一个焦点．若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反

射之后回到点，光线经过的路程为 8，T的离心率为．

(1)求椭圆 T的标准方程；

(2)设，且，过点 D的直线 l与椭圆 T交于不同的两点 M，N，是 T的右焦点，且

与互补，求面积的最大值．

【解析】(1)由椭圆的性质可知，左焦点发出的光线，

经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为，解得．

又椭圆的离心率为，得，

所以，

故，

故椭圆 T的标准方程为；

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