专题29 【大题限时练29】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 29 大题限时练 29
1．已知数列
{ }
n
a
满足：
1
1
1
3(1 ) 2(1 )
1,
2 1 1
n n
n n
a a
aa a
 
 
 
，
1
0( 1)
n n
a a n
…
，数列
{ }
n
b
满足：
2 2
1
( 1)
n n n
b a a n
  …
．
（1）求数列
{ }
n
a
，
{ }
n
b
的通项公式
（2）证明：数列
{ }
n
b
中的任意三项不可能成等差数列．
【答案】（1）
1 1
3 2
( 1) 1 ( )
4 3
n n
n
a
 
 
，
1
1 2
( )
4 3
n
n
b
 
（2）见解析
【详解】（1）由题意可知，
2 2
1
2
1 (1 )
3
n n
a a
 
令
，则
又
2
1 1
3
14
c a 
，则数列
{ }
n
c
是首项为
1
3
4
c
，公比为
2
3
的等比数列，即
1
3 2
( )
4 3
n
n
c
，
故
2 1 2 1
3 2 3 2
1 ( ) 1 ( )
4 3 4 3
n n
n n
a a
 
 
，
又
，
1
0
n n
a a
故
1 1
3 2
( 1) 1 ( )
4 3
n n
n
a
 
 
因为
2 2 1 1
1
3 2 3 2 1 2
1 ( ) 1 ( ) ( )
4 3 4 3 4 3
n n n
n n n
b a a
 
 
，
故
1
1 2
( )
4 3
n
n
b
 
（2）假设数列
{ }
n
b
存在三项
r
b
，
s
b
，
( )
t
b r s t 
按某种顺序成等差数列，
由于数列
{ }
n
b
是首项为
1
4
，公比为
2
3
的等比数列，
于是有
2
s r t
b b b 
成立，则只有可能有
2
s r t
b b b 
成立，
1 1 1
1 2 1 2 1 2
2 ( ) ( ) ( )
4 3 4 3 4 3
s r t  
 
化简整理后可得，
2 2 3 3 2
s r t s t r t r 
 
，
由于
r s t 
，且为整数，所以上式左边为偶数，右边为奇数，
故等式不可能成立，导致矛盾．
故数列
{ }
n
b
中任意三项不可能成等差数列．
2．在
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
(sin sin ) sin sina A B b B c C 
．
（1）求角
C
；
（2）若
3c
，
6a b 
，求
ABC
的面积．
【答案】（1）
3
C
 
；（2）
1 1 9 3
sin 3 3 sin
2 2 3 4
S ab C
  
【详解】（1）由正弦定理知，
sin sin sin
a b c
A B C
 
，
(sin sin ) sin sina A B b B c C 
，
2 2
( )a a b b c  
，即
2 2 2
a b c ab  
，
由余弦定理知，
2 2 2
1
cos 2 2 2
a b c ab
Cab ab
 
 
，
(0, )C
，
3
C
 
．
（2）由（1）知，
2 2 2
a b c ab  
，即
2 2
( ) 2a b ab c ab  
，
3c
，
6a b 
，
36 9 3ab  
，解得
9ab
，
3a b 
，
ABC
的面积
1 1 9 3
sin 3 3 sin
2 2 3 4
S ab C
  
．
3．如图，在四棱锥
E ABCD
中，
/ /AB CD
，
1
2
AD CD BC AB  
，
E
在以
AB
为直径的半圆上（不包
括端点），平面
ABE
平面
ABCD
，
M
，
N
分别为
DE
，
BC
的中点．
（1）求证：
/ /MN
平面
ABE
；
（2）当四棱锥
E ABCD
体积最大时，求二面角
N AE B 
的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
7 202
101
【详解】（1）证明：取
EC
中点
F
，连接
MF
，
NF
，
/ /AB CD
，
M
，
N
分别为
DE
，
BC
的中点，
/ /NF BE
，
/ /MF CD
，
/ /MF AB
，
NF M F F
，
BE AB B
，
平面
/ /ABE
平面
MNF
，
MN
平面
MNF
，
/ /MN
平面
ABE
；
（2）当四棱锥
E ABCD
体积最大时，
E
是
AB
中点，此时
AE BE
，
以
E
为坐标原点，
EB
为
x
轴，
EA
为
y
轴，过
E
作平面
ABE
的垂线为
z
轴，建立空间直角坐标系，如图，
设
11
2
AD CD BC AB  
，则
2AE BE 
，
( 2B
，0，
0)
，
3 2
(4
C
，
2
4
，
3)
2
，
7 2
(8
N
，
2
8
，
3)
4
，
(0A
，
2
，
0)
，
(0E
，0，
0)
，
(0EA

，
2
，
0)
，
7 2
(8
EN

，
2
8
，
3)
4
，
设平面
AEN
的法向量
(n x
，
y
，
)z
，
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