专题28 圆锥曲线中的定值定点问题（原卷版）-2022届高考数学一模试题分类汇编（新高考卷）

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28 圆锥曲线中的定值、定点问题

【2022 届新高考一模试题分类汇编】

一、解答题

1．（2022·陕西·一模（理））已知抛物线，过点作两条互相垂直的直线，设

分别与抛物线相交于及两点，当点的横坐标为时，抛物线在点处的切线斜率为 .

(1)求抛物线的方程；

(2)设线段的中点分别为，为坐标原点，求证直线过定点.

2．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知圆过点，且与直线相切.

(1)求圆心的轨迹的方程；

(2)过点作直线交轨迹于、两点，点关于轴的对称点为 .问是否经过定点，若经过

定点，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.

3．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））如图，点 M是圆上的动点，点，

线段 MB 的垂直平分线交半径 AM 于点 P.

(1)求点 P的轨迹 E的方程；

(2)若C，D为轨迹 E与x轴的两个交点，G为直线上的动点，直线 GC 与E的另一个交点为 N，直线

GD 与E的另一个交点为 H，求证：直线 NH 过定点.

4．（2022·全国·模拟预测）已知 M，N是椭圆的左、右顶点，F是椭圆的右焦点，

且，点是 C上一点.

(1)求椭圆 C的方程；

(2)记知过 F的直线 l与椭圆交于 A，B（异于 M，N）两点，过点 N且垂直于 x轴的直线与线，分

别交于 P，Q两点，证明：为定值.

5．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（文））已知直线与曲线的两个公共点之间的距

离为．

(1)求C的方程．

(2)设P为C的准线上一点，过 P作C的两条切线，切点为 A，B，直线的斜率分别为，，且直

线与 y轴分别交于 M，N两点，直线的斜率为．证明：为定值，且成等差数列．

6．（2022·陕西渭南·一模（文））已知点在抛物线上.

(1)求抛物线 E的方程；

(2)直线都过点的斜率之积为，且分别与抛物线 E相交于点 A，C和点 B，D，设 M是

的中点，N是的中点，求证：直线恒过定点.

7．（2022·河南开封·二模（文））已知抛物线 C：的焦点为 F，为 C上一点，直线 l

交C于M，N两点（与点 S不重合）.

(1)若l过点 F且倾斜角为 60°，（M在第一象限），求 C的方程；

(2)若，直线 SM，SN 分别与 y轴交于 A，B两点，且，判断直线 l是否恒过定点？若是，

求出该定点；若否，请说明理由.

8．（2022·山东烟台·一模）已知椭圆 C：的离心率为，依次连接 C四个顶点所得

菱形的面积为 4．

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