专题28 圆锥曲线中的定值定点问题（解析版）-2022届高考数学一模试题分类汇编（新高考卷）
28 圆锥曲线中的定值、定点问题
【2022 届新高考一模试题分类汇编】
一、解答题
1．（2022·陕西·一模（理））已知抛物线 ，过点 作两条互相垂直的直线 ，设
分别与抛物线相交于 及 两点，当 点的横坐标为 时，抛物线在点 处的切线斜率为 .
(1)求抛物线的方程；
(2)设线段 的中点分别为 ， 为坐标原点，求证直线 过定点.
【解析】(1)由 得： ，则 ， ，解得： ，
抛物线方程为： ；
(2)由题意知：直线 的斜率都存在且都不为零，
由（1）知： ，
设直线 ，代入 得： ，
设 ， ，则 ， ，
， 中点 ；
， ，同理可得： 中点 ；
的方程为： ，
化简整理得： ，则当 时， ，
直线 恒过定点 .
2．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知圆 过点 ，且与直线 相切.
(1)求圆心 的轨迹 的方程；
(2)过点 作直线 交轨迹 于 、 两点，点 关于 轴的对称点为 .问 是否经过定点，若经过
定点，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.
【解析】(1)由题意知动点 的轨迹 是以 为顶点， 为焦点， 为准线的抛物线，所以动
圆圆心 的轨迹方程为： ；
(2)设直线 的方程为 ， 、 不妨令 ，则 ，联立直线 与抛物线
方程得 消去 得 ，则 、 ，则直线 的方程为
，即 ，则
， ，即
，
所以 ，即 ，令 解得 ，所以直
线 恒过定点 ；
3．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））如图，点 M是圆 上的动点，点 ，
线段 MB 的垂直平分线交半径 AM 于点 P.
(1)求点 P的轨迹 E的方程；
(2)若C，D为轨迹 E与x轴的两个交点，G为直线 上的动点，直线 GC 与E的另一个交点为 N，直线
GD 与E的另一个交点为 H，求证：直线 NH 过定点.
【解析】(1)连结 PB，由题意有
所以
所以点 P的轨迹 E是以 A，B为焦点，长轴长为 ，焦距为 的椭圆
所以点 P的轨迹 E的方程为
(2)不妨设 ， ，设 ， ，
则直线 GC 的方程为 ，
联立
由韦达定理 ，
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