专题28 【大题限时练28】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 28 大题限时练 28
1．设各项均为正数的等差数列
{ }
n
a
的前
n
项和为
n
S
，
7
35S
，且
1
a
，
4
1a
，
7
a
成等比数列．
（1）求数列
{ }
n
a
的通项公式；
（2）数列
满足
1n n n
b b a
 
，求数列
的前
2n
项的和
2n
T
．
【答案】（1）
2 1 1
n
a n n    
；（2）
2n
T
2
2 1 2 3 4 5 6 2 1 2
1
( ) ( ) ( ) ... ( ) 2 4 6 ... 2 (2 2 )
2
n n n
T b b b b b b b b n n n n n
     
【详解】（1）设等差数列
{ }
n
a
的公差为
d
，
0d
，
由
7
35S
，可得
1
7 21 35a d 
，即为
1
3 5a d 
，①
由
1
a
，
4
1a
，
7
a
成等比数列，可得
2
4 1 7
( 1)a a a 
，
即为
2
1 1 1
( 3 1) ( 6 )a d a a d 
，②
由①②可得
12a
，
1d
，
可得
2 1 1
n
a n n  
；
（2）由
1
1
n n n
b b a n
 
，
则
2
2 1 2 3 4 5 6 2 1 2
1
( ) ( ) ( ) ... ( ) 2 4 6 ... 2 (2 2 )
2
n n n
T b b b b b b b b n n n n n
  
．
2．在
ABC
中，
a
，
b
，
c
分别为内角
A
，
B
，
C
的对边，且
cos cosa b a B b A 
．
（1）求证：
a b
；
（2）若
4c
，
3
cos 5
C
，求
ABC
的面积．
【答案】（1）见解析；（2）8
【详解】（1）证明：
cos cosa b a B b A 
，
由余弦定理可得，
2 2 2 2 2 2
2 2
a c b b c a
a b a b
ac bc
   
 
，
化简得，
( )( ) 0a b a b c  
，
0a b c  
，
0a b 
，即
a b
，
故命题得证．
（2）解：由（1）知，
a b
，
由余弦定理知，
2 2 2
cos 2
a b c
Cab
 
，
2
2
3 2 16
5 2
a
a
，解得
2 5a b 
，
3
cos 5
C
，
(0, )C
，
2
4
sin 1 5
C cos C  
，
ABC
的面积
1 1 4
sin 2 5 2 5 8
2 2 5
S ab C   
．
3．如图，
A
是以
BD
为直径的半圆
O
上一点，平面
BCD
平面
ABD
，
BC BD
．
（1）求证：
AD
平面
ABC
；
（2）若
2 2BD BC 
，
2AD AB
，求二面角
A CD B 
的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
3 5
6
10
cos 4
30
5
EF
AFE AF
 
【详解】（1）证明：
平面
BCD
平面
ABD
，且平面
BCD
平面
ABD BD
，
BC
平面
BCD
，
BC BD
，
BC 
平面
ABD
，而
AD
平面
ABD
，
BC AD 
，又
AD AB
，且
AB BC B
，
AD 
平面
ABC
；
（2）解：
2AD AB
，
60AOB  
，
则
AOB
为等边三角形，取
OB
中点
E
，连接
AE
，则
AE OB
，
又平面
BCD
平面
ABD
，且平面
BCD
平面
ABD BD
，
AE
平面
ABD
，
AE BD
，则
AE
平面
BCD
，
在平面
BCD
中，过
E
作
EF CD
，垂足为
F
，连接
AF
，
由三垂线定理可得，
CD AF
，
则
AFE
为二面角
A CD B 
的平面角．
2 2BD BC 
，
3
2
AE 
，
3
2
ED
，
5CD
，
由
Rt DBC Rt DFE ∽
，得
ED CD
EF BC
，即
3
13 5
2
10
5
BC ED
EF CD
 
，
在
Rt AEF
中，有
2 2
3 9 30
4 20 5
AF AE EF  
，
3 5
6
10
cos 4
30
5
EF
AFE AF
 
．
4．某中学的一个高二学生社团打算在开学初组织部分同学参加打扫校园志愿活动．该社团通知高二同学
自愿报名，由于报名的人数多达 50 人，于是该社团采用了在报名同学中用抽签的方式来确定打扫校园的人
员名单．抽签方式如下：将 50 名同学编号，通过计算机从这 50 个编号中随机抽取 30 个编号，然后再次通
过计算机从这 50 个编号中随机抽取 30 个编号，两次都被抽取到的同学可参加活动．
（1）设该校高二年级报名参加活动的甲同学的编号被抽取到的次数为
Y
，求
Y
的分布列和数学期望；
（2）设两次都被抽取到的人数为变量
X
，则
X
的可能取值是哪些？其中
X
取到哪一个值的可能性最大？
请说明理由．
【答案】见解析
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