专题27 【大题限时练27】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 27 大题限时练 27
1．在①
2
1
( 1)
n n
na n a n n
 
，②
3 ( 2)
n n
S n a 
，③
1
( 2)
n n
n
n a T
Tn
这三个条件中任选一个补充在下面
问题中，并解答下列题目．
设首项为 2的数列
{ }
n
a
的前
n
项和为
n
S
，前
n
项积为
，且_______．
（1）求数列
{ }
n
a
的通项公式；
（2）设
( 1)
n
n n
b a 
，求数列
{ }
n
b
的前
n
项和．
【答案】见解析
【详解】（1）选①
2
1
( 1)
n n
na n a n n
 
，（1）可得
1
1
1
n n
a a
n n
 
，
则数列
{ }
n
a
n
是首项为 2，公差为 1的等差数列，则
211
n
an n
n    
，
可得
( 1)
n
a n n 
；
选②
3 ( 2)
n n
S n a 
，可得
1n
时，
1 1
1 2
3
a a
，成立；
当
2n…
时，
1 1
3 ( 1)
n n
S n a
 
 
，又
3 ( 2)
n n
S n a 
，
两式相减可得
1 1
3 3 3 ( 2) ( 1)
n n n n n
a S S n a n a
 
 
，
化为
1
1
1
n
n
an
a n
，则
3
2
1
1 2 1
4 5 1
... 2 3 ... ( 1)
2 3 2 1
n
n
n
a a
an n
a a n n
a a a n n
  
 
；
选③
1
( 2)
n n
n
n a T
Tn
，可得
1
1
( 2)
n n
n
n
T n a
aT n
 
，
即有
1
2
n
n
an
a n
，
即
1
1
1
n
n
an
a n
，
则
3
2
1
1 2 1
4 5 1
... 2 3 ... ( 1)
2 3 2 1
n
n
n
a a
an n
a a n n
a a a n n
 
 
；
（2）
( 1) ( 1) ( 1)
n n
n n
b a n n   
，
当
n
为偶数时，数列
{ }
n
b
的前
n
项和为
1 2 2 3 3 4 4 5 ... ( 1) ( 1) 4 8 ... 2
n
B n n n n n         
1 ( 2)
(4 2 )
2 2 2
n n n
n
 
；
当
n
为奇数时，数列
{ }
n
b
的前
n
项和为
2
1
( 1)( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
2 2
n n
n n n
B B n n n n
 
   
．
所以
 
1 2 2
2,
2
...
( 1) ,
2
n
n n n
b b b
nn
 
为偶数
为奇数
．
2． 如 图 ， 在 三 棱 柱
1 1 1
ABC A B C
中 ，
ABC
是 边 长 为 2的 等 边 三 角 形 ， 平 面
ABC
平 面
1 1
AA B B
，
1 1
A A A B
，
1
60A AB  
，
O
为
AB
的中点，
M
为
1 1
A C
的中点．
（1）求证：
/ /OM
平面
1 1
BB C C
；
（2）求二面角
1 1
C BA C 
的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
4
5
【详解】（1）证明：连接
CO
，
1
A O
，由题意得
CO
平面
1 1
ABB A
，
1
A O AB
，
以
O
为原点，
OA
为
x
轴，
1
OA
为
y
轴，
OC
为
z
轴，建立空间直角坐标系，
则
(0O
，0，
0)
，
1(0A
，
3
，
0)
，
1( 2B
，
3
，
0)
，
(0C
，0，
3)
，
1
(2
M
，
3
，
3)
2
，
( 1B
，0，
0)
，
1 3
( , 3, )
2 2
OM  

，
1
( 1BB  

，
3
，
0)
，
(1BC
，0，
3)
，
设平面
1 1
BB C C
的法向量
(n x
，
y
，
，
则
13 0
3 0
n BB x y
n BC x z
 
 

，取
3x
，得
( 3n
，1，
1)
，
3 3
3 0
2 2
n OM  
，
OM
平面
1 1
BB C C
，
/ /OM
平面
1 1
BB C C
．
（2）
1
( 1, 3, 3)C
，
1
(1BA
，
3
，
0)
，
(1BC
，0，
3)
，
1(0, 3, 3)BC
，
设平面
1 1
A BC
的法向量
(n x
，
y
，
)z
，
则
1
1
3 0
3 3 0
n BA x y
n BC y z
 
 
，取
3x
，得
( 3n
，
1
，
1)
，
设平面
1
A BC
的法向量
(m a
，
b
，
)c
，
则
13 0
3 0
m BA a b
m BC a c
 
 
，取
3a
，得
( 3m
，
1
，
1)
，
设二面角
1 1
C BA C 
的平面角为
，
则
| | 3 3
cos | | | | 5
5 5
m n
m n
 
 
 
，
2
3 4
sin 1 ( )
5 5
 
．
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