专题26 【大题限时练26】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 26 大题限时练 26

1．已知数列

{ }

满足：

2 4

n n

S a n 

，设

n n

b a 

，



．

（1）求数列

{ }

的通项公式；

（2）设数列

{ }

其前

项和为

，如果

T m„

对任意的

n N

恒成立，求实数

的取值范围．

【答案】（1）

2 4



 

；（2）

m…

【详解】（1）当

1n

时，

1 1 1

2 4a S a  

，解得

14a

，

当

2n…

时，

2 4

n n

S a n 

①，

1 1

2 4( 1)

n n

S a n

 

  

②

由①



②得

1 1

2 2 4

n n n n n

a S S a a

 

    

，

即

2 4

n n

a a



 

，

可得

4 2( 4)

n n

a a



  

，即

n n

b b





，

所以

1 1 2

2 8 2 2

n n n

b b

  

    

，

则

2 4



 

；

（2）由（1）知

( )





，

所以

1 1

[1 ( ) ] 1 1 1

8 2 [1 ( ) ]

14 2 4



   



，

由

T m„

对任意的

n N

恒成立，

所以

m…

．

2．已知

ABC

的内角

，

所对的边分别是

，

，其面积

2 2 2

b c a

S 



．

（1）若

6a

，

2b

，求

cos B

；

（2）求

sin( ) sin cos cos( )A B B B B A   

的最大值．

【答案】（1）

230

cos 1 6

B sin B   

；（2）

【详解】（1）

2 2 2

b c a

S 



，可得

1 2 cos

sin

2 4

bc A

bc A 

，

sin cosA A 

，可得

tan 1A

，

(0, )A





，



 

，

6a

，

2b

，



由正弦定理

sin sin

a b

A B



，可得

sin 6

b A



  



，

又

a b

，

为锐角，

230

cos 1 6

B sin B   

．

（2）





，

sin( ) sin cos cos( )A B B B B A    

sin( ) sin cos cos( )

4 4

B B B B

 

    

2 2 2 2

sin cos sin cos cos sin

2 2 2 2

B B B B B B    

2(sin cos ) sin cosB B B B  

令

sin cost B B 

，则

21 2sint BcoB 

，



原式

2 2

1 1 1 3

2 ( 2)

2 2 2 2

t t t     

，

(0t

，



当

2t

时，





，此时，原式的最大值为

．

3．在四棱锥

P ABCD

中，平面

PAD 

平面

ABCD

，底面

ABCD

为直角梯形，

/ /BC AD

，

90ADC  

，

1BC CD 

，

2PA PD AD  

，

为线段

的中点，过

的平面与线段

，

分别交于点

，

．

（1）求证：

GF PA

；

（2）在棱

上是否存在点

，使得直线

与平面

BEGF

所成角的正弦值为

，若存在，请确定

点

的位置；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析

【详解】（1）证明：因为

BC AD

，且

为线段

的中点，所以

BC DE

．

又

/ /BC AD

，所以四边形

BCDE

为平行四边形，所以

/ /BE CD

．

又

CD Ü

平面

PCD

，

BE 



平面

PCD

，所以

/ /BE

平面

PCD

．

又

BE Ü

平面

BEGF

，平面

BEGF



平面

PCD GF

，所以

/ /BE GF

．

又平面

PAD 

平面

ABCD

，

BE Ü

平面

BEGF

，

BE AD

，

平面

PAD



平面

ABCD AD

，

所以

BE 

平面

PAD

，又因为

/ /BE GF

，

所以

GF 

平面

PAD

，又

PA Ü

平面

PAD

，

所以

GF PA

．

（2）解：存在，

为棱

上靠近

点的三等分点．

因为

PA PD

，

为线段

的中点，所以

PE AD

，又平面

PAD 

平面

ABCD

，所以

PE 

平面

ABCD

．

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