专题25 【大题限时练25】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 25 大题限时练 25
1．已知数列
{ }
n
a
满足
1
3a
，
1
2 1
n n
a a n
 
．
（1）求数列
{ }
n
a
的通项公式；
（2）若数列
{ }
n
c
满足
1
(2 1)(2 1)
n
nn n
a n
c
 
，求数列
{ }
n
c
的前
n
项和
n
T
．
【答案】（1）
；（2）
1
1 1
3 2 1
nn
T
 
【详解】（1）数列
{ }
n
a
中，
1
2 1
n n
a a n
 
，
1
( 1) 2( )
n n
a n a n
 
，又
1
3a
，
1
1 2a 
，
数列
{ }
n
a n
是首项与公比均为 2的等比数列，
2
n
n
a n  
，
2
n
n
a n 
；
（2）
2
n
n
a n 
，
1 1 1
2 1 1
(2 1)(2 1) (2 1)(2 1) 2 1 2 1
n
n
nn n n n n n
a n
c
 
 
   
，
1 2 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
[( ) ( ) ( )]
3 5 5 9 2 1 2 1 3 2 1
n n n n n
T c c c
 
   
 
．
即数列
{ }
n
c
的前
n
项和
1
1 1
3 2 1
nn
T
 
．
2．在
ABC
中，它的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
2
3
B
，
6b
．
（1）若
2
cos cos 3
A C
，求
ABC
的面积；
（2）试问
1 1 1
a c
 
能否成立？若能成立，求此时
ABC
的周长；若不能成立，请说明理由．
【答案】（1）
1 1 3 3
2 2 sin 2 2 sin sin 4sin sin sin 4
2 6 2 3
ABC
S A C B A B C
 
；（2）见解析
【详解】（1）由
2
3
B
，可得
3
A C
 
，
所以
cos( ) cos cos sin sinA C A C A C 
，即
1cos cos sin sin
2A C A C 
，
又因为
2
cos cos 3
A C
，所以
1
sin sin 6
A C
，
因为
62 2
sin sin 3
2
a c
A C
 
，
所以
2 2 sin , 2 2 sina A c C 
，
所以
1 1 3 3
2 2 sin 2 2 sin sin 4sin sin sin 4
2 6 2 3
ABC
S A C B A B C
 
；
（2）假设
1 1 1
a c
 
能成立，所以
a c ac 
，
由余弦定理，
2 2 2 2 cosb a c ac B  
，
所以
2 2
6a c ac  
，所以
2
( ) 6a c ac  
，
故
2
( ) 6 0ac ac  
，解得
3ac
或
2ac  
（舍），
此时
3a c ac 
，不满足
2a c ac…
，
所以假设不成立，故
1 1 1
a c
 
不成立．
3．某班 50 名学生在一次数学测试中，成绩全部介于 50 与100 之间，将测试结果按如下方式分成五组：第
一组
[50
，
60)
，第二组
[60
，
70)
，
，第五组
[90
，
100]
．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方
图．
（1）由频率分布直方图估计 50 名学生数学成绩的中位数和平均数；
（2）从测试成绩在
[50
，
60) [90
，
100]
内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为
m
，
n
，
求事件“
| | 10m n 
”概率．
【答案】见解析
【详解】（1）由直方图知，成绩在
[50
，
80)
内的频率
(0.004 0.018 0.04) 10 0.62  
，
所以中位数在
[70
，
80)
内，
设中位数为
x
，则
(0.004 0.018) 10 0.04 ( 70) 0.5x  
，解得
77x
，所以中位数是 77，
设平均数为
x
，则
55 0.04 65 0.18 75 0.4 85 0.32 95 0.06 76.8x       
．
（2）由直方图知，成绩在
[50
，
60)
内的人数为：
50 10 0.004 2 
，设成绩为
x
，
y
，
成绩在
[90
，
100]
的人数为
50 10 0.006 3 
，设成绩为
a
、
b
、
c
，若
m
，
[50n
，
60)
时，
只有
xy
一种情况，若
m
，
[90n
，
100]
时，有
ab
，
bc
，
ac
三种情况，
若
m
，
n
分别在
[50
，
60)
和
[90
，
100)
内时，有
xa
，
xb
，
xc
，
ya
，
yb
，
yc
，共有 6种情况，
基本事件总数为 10 种，事件“
| | 10m n 
”所包含的基本事件个数有 6种，
6 3
(| ) 10) 10 5
p m n  
．
4．某地区上年度电价为 0.8 元
/kW h
，年用电量为
akW h
，本年度计划将电价降到 0.55 元
/kW h
至0.75
元
/kW h
之间，而用户期望电价为 0.4 元
/kW h
经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望
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