专题24 【大题限时练24】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 24 大题限时练 24
1．数列
{ }
n
a
的前
n
项和为
n
S
，
1
1a
，对任意的
*n N
有
0
n
a
，
2 1
n n
a S 
．
（1）求数列
{ }
n
a
的通项公式；
（2）设数列
，
1
5
2
b 
，
*n N 
，
1
1 1
2 ( )
n
n n n
b b a
 
 
，求数列
的通项公式．
【答案】（1）
*
2 1( )
n
a n n N 
；（2）
2*
1 2 2
1 1
(1 )
2 2 2 2 1 2 1 2 3
2 2
1 1 ( )
1
2 2 2 2 2 2
12
n
nn n n n n
n n n
b n N
 
 
 
2*
1 2 2
1 1
(1 )
2 2 2 2 1 2 1 2 3
2 2
1 1 ( )
1
2 2 2 2 2 2
12
n
nn n n n n
n n n
b n N
 
 
   
【详解】（1）根据题意，
2 1
n n
a S 
1 2
n n
a S 
，
故有
2
( 1) 4
n n
a S 
①，
2
1 1
( 1) 4
n n
a S
 
 
②，
②
①得，
1 1 1
( 2)( ) 4
n n n n n
a a a a a
 
 
，
化简可得，
1 1
( )( 2) 0
n n n n
a a a a
 
 
，
1
0
n n
a a
 
，
1 1
2 0 2
n n n n
a a a a
 
  
，
即得数列
{ }
n
a
是公差为 2的等差数列，
又因为
1
1a
，
所以数列
{ }
n
a
的通项公式即为：
*
2 1( )
n
a n n N 
．
（2）根据题意，因为对于任意的
*
n N
，都有
1
1 1
2 ( )
n
n n n
b b a
 
 
，
即得
1
11 1
2 1
2 2
n
n n n n
an
b b
 
 
，
1
2 1
2
n n n
n
b b
 
，
1 2 1
2 3
2
n n n
n
b b
 
 
，
，
2 1 2
3
2
b b 
，
将以上
( 1)n
个式子相加可得，
11 3 2
2 1 2 3 5 3
2 2 2 2
nn n
n n
b b
 
 
，
1
5
2
b 
；，
1 3 2
2 1 2 3 5 3 5
( )
2 2 2 2 2
nn n
n n
b
 
 
③；
1 2 2
2 1 2 3 5 3
2 5
2 2 2 2
nn n
n n
b
 
 
 
④；
④
③得，
2*
1 2 2
1 1
(1 )
2 2 2 2 1 2 1 2 3
2 2
1 1 ( )
1
2 2 2 2 2 2
12
n
nn n n n n
n n n
b n N
 
 
 
．
2．在①
(cos sin )c A A b 
，②
sin cos 2c B b C b 
，③
sin tan cos 2 sinB C B A 
这三个条件中任选一
个，补充在下面的问题中，并作答．
ABC
的内角
A
、
B
、
C
所对应的边分别为
a
，
b
，
c
，已知 ______，
2c
，
3
cos 5
B
．
（1）求
cos A
的值；
（2）求
ABC
的面积．
【答案】见解析
【详解】若选①：
(cos sin )c A A b 
，
由正弦定理得
sin cos sin sin sinC A C A B 
，
sin sin( )B A C 
，
sin cos sin sin sin cos cos sinC A C A A C A C  
，
sin sin sin cosC A A C 
，
sin 0A
，
sin cosC C 
，
tan 1C 
，
(0, )C
，
4
C
 
，
（1）
3
cos 5
B
，
(0, )B
，
4
sin 5
B 
，
4 2 3 2 2
cos cos( ) sin sin cos cos 5 2 5 2 10
A B C B C B C  
．
（2）
(0, )A
，
7 2
sin 10
A 
，
由正弦定理得
sin sin
a c
A C
，
sin 7 2
sin 5
c A
aC
 
，
1 1 7 2 4 28
sin 2
2 2 5 5 25
ABC
S ac B
 
．
若选②：
sin cos 2c B b C b 
，
由正弦定理得
sin sin sin cos 2 sinC B B C B 
，
sin 0B
，
sin cos 2C C 
，
2 sin( ) 2
4
C
 
，
即
sin( ) 1
4
C
 
，
(0, )C
，
4
C
 
，
下面步骤同①．
若选③：
sin tan cos 2 sinB C B A 
，则
sin cos sin cos 2 sin cosB C C B A C 
，
sin( ) 2 sin cosB C A C  
，
sin 2 sin cosA A C 
，
sin 0A
，
2
cos 2
C 
，
(0, )C
，
4
C
 
，
下面步骤同①．
3．若数列
{ }
n
a
及
满足
1
1
1,( *)
3
3 3,( *),
nnn
n n n
a a b n N
b a b n N
 
 
且
1
1a
，
1
6b
．
（1）证明：
*
3 3( )
n n
b a n N  
；
（2）求数列
{ }
n
a
和
的通项公式．
【答案】（1）见解析；（2）
2 1
n
n
a 
；
3 3 3 2
n
n n
b a  
【详解】（1）证明：
1
1
3
n n n
a a b
 
，
1
3 3
n n n
b a b
 
，
1 1
3 3
n n
b a
 
 
，
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