专题21同构、罗必塔法则、隐零点、双变量等问题（讲）【原卷版】（理科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 21 同构、罗必塔法则、隐零点、双变量等问题（讲案）（理）

同构、罗必塔法则、隐零点、双变量等问题在高考中占有很重要的地位，与其他知识的交汇

问题，一般作为解答题的压轴题出现。

一、考向分析：

二、考向讲解

考查内容解题技巧

导数的几

何意义

1．求切线方程的方法

(1)求曲线在点 P处的切线，则表明 P点是切点，只需求出函数在点 P处的

导数，然后利用点斜式写出切线方程．

(2)求曲线过点 P的切线，则 P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后

列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程．

2．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参

数的方程并解出参数．

(1)切点处的导数是切线的斜率．(2)切点在切线上．(3)切点在曲线上．

导数与函

数单调性

1、确定函数单调区间的步骤

（1）确定函数 f(x)的定义域．（2）求 f′(x)．

（3）解不等式 f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．

（4）解不等式 f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

2．函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，“f′(x)>0 在(a，b)上成立”是“f(x)

在

(a，b)上单调递增”的充分不必要条件．

函数与导数

导数的几

何意义

导数与函

数单调性

导数与函的

极值、最值导数与不等式导数与零点

3、根据函数单调性求参数的一般思路

(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相

应单调区间的子集．

(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a，b)都有 f′(x)≥0 且在(a，b)内的

任一非空子区间上 f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏

解．

4、划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0的点和

函数的间断点．

5、个别导数为 0的点不影响所在区间的单调性，如 f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝

0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．

导数与函

数

极值、最

值

1、函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）知图判断函数极值的情况．先找导数为 0的点，再判断导数为 0的点的

左、右两侧的导数符号．

（2）已知函数求极值．求 f′(x)―→求方程 f′(x)＝0的根―→列表检验 f′(x)在f′(x)

＝0的根的附近两侧的符号―→下结论．

（3）已知极值求参数．若函数 f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则 f′(x0)＝0，且在

该点左、右两侧的导数值符号相反．

2、求函数 f(x)在闭区间[a，b]内的最大值和最小值的思路：

若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数 f(x)求导，并求 f′(x)＝0在

区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与 f(a)，f(b)

比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．若所给的闭区间[a，b]

含有参数，则需对函数 f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从

而得到函数 f(x)的最值．

导数与

不等式

1．利用导数比较大小或解不等式的常用技巧

利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先

利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．

2、对于不等式的证明问题可考虑：①通过研究函数的单调性进行证明；②根据

不等式的结构构造新函数，通过研究新函数的单调性或最值来证明．有些不等

式直接移项、构造函数证明会导致运算量很大，而先通过化简、变形，再移项

构造不等式就减少运算量，使得问题顺利解决．

3．函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证

明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数 n的不等式替代函数不等

式中的自变量，通过多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少 2问，已知的

不等式常由第一问根据待证式的特征而得到．

4．已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不

等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如 ex>x＋1可化为

ln(x＋1)<x等．

5、利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形

如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式，通过求函数 y＝f(x)的最值求得参数范围．恒成立问

题的求解方法：a≥f(x)在x∈D上恒成立，则 a≥f(x)max(x∈D)；a≤f(x)在x∈D上恒

成立，则 a≤f(x)min．

6、含全称、存在量词不等式恒成立问题的方法

（1）存在 x1A∈，任意 x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，则 f(x)max≥g(x)max．

（2）任意 x1A∈，存在 x2B∈，使 f(x1)≥g(x2)成立，则 f(x)min≥g(x)min．

（3）任意 x1∈A，x2B∈，使 f(x1)≥g(x2)，则 f(x)min≥g(x)max．

（4）存在 x1∈A，x2B∈，使 f(x1)≤g(x2)，则 f(x)min≤g(x)max．

导数与零

点

1、利用导数确定函数零点或方程根个数的方法

（1）构建函数 g(x)(要求 g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定 g(x)的零点个

数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的

符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解．

（2）利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后

利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该

区间上零点的个数．

3、与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值

点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，

进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点

问题．

知识点一：函数的构造

联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、

方程及最值类问题，则可构造函数，并确定自变量的取值范围，通过研究函数的单调性、最值等，

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