专题18利用导数解不等式和比较大小（讲）【解析版】（文科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考文科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

3.0 envi 2025-03-06 17 4 501.64KB 15 页 3知币
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专题 18 利用导数解不等式和比较大小（讲）（文）
考查重点是用倒数解决不等式问题，此类问题难度属于中高档，一般以选择填空题的形式出
现。
1．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试数学（新课标Ⅰ））设函数
，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范围
是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设 ， ，
由题意知，函数 在直线 下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当 时， ；当 时， .
所以，函数 的最小值为 .
又 ， .
直线 恒过定点 且斜率为 ，
故 且 ，解得 ，故选 D.
2．（2021 年全国高考乙卷数学试题）设函数 ，已知 是函数 的极
值点．
（1）求 a；
（2）设函数 ．证明:．
【答案】1；证明见详解
【分析】（1）由 ， ，
又 是函数 的极值点，所以 ，解得 ；
（2）由（1）得 ， ， 且 ，
当 时，要证 ， ， ，即证
，化简得 ；
同理，当 时，要证 ， ， ，即证
，化简得 ；
令 ，再令 ，则 ， ，
令 ， ，
当 时， ， 单减，假设 能取到，则 ，故 ；
当 时， ， 单增，假设 能取到，则 ，故 ；
综上所述， 在 恒成立
3．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试数学（新课标Ⅱ））设函数 是奇函数 （
）的导函数， ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范
围是
A．B．
（0,1）∪（1，2）
C．D．
【答案】A
【详解】构造新函数 ,，当 时 .
所以在 上 单减，又 ，即 .
所以 可得 ,此时 ，
又 为奇函数，所以 在 上的解集为： .
故选 A.
4．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试数学（新课标Ⅰ））已知函数 ，
若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围是
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