专题17 【大题限时练17】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 17 大题限时练 17
1．设等比数列
{ }
n
a
的公比为
( 1)q q
，前
n
项和为
n
S
．
（1）若
1
1a
，
6 3
9
8
S S
，求
3
a
的值；
（2）若
，
2 1
5
2
m m m
a a a
 
 
，且
2
9
m m
S S
，
*
m N
，求
m
的值．
【答案】（1）
2
3 1
1
4
a a q 
；（2）
3m
【详解】（1）等比数列
{ }
n
a
的公比为
( 1)q q
，前
n
项和为
n
S
．
1
1a
，
6 3
9
8
S S
，
3 3
6 3 3 3 3
9
(1 ) 8
S S q S S q S 
，
解得
1
2
q
，
2
3 1
1
4
a a q 
．
（2）
1q
，
2 1
5
2
m m m
a a a
 
 
，且
2
9
m m
S S
，
*
m N
，
2
5
2
m m m
a a q a q 
，
2
51 0
2
q q  
，
由
，解得
2q
，
2
9
m m
S S
，
2
1 1
(1 2 ) (1 2 )
9
1 2 1 2
m m
a a 
 
 
，
1
0a
，
2
1 2 9(1 2 )
m m
 
，
解得
3m
．
2．已知
ABC
中，它的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
2 2 2
3 3 3 2b c a bc 
．
（1）求
sin A
的值；
（2）若
sin 2sinB C
，求
tan C
的值．
【答案】（1）
2
1 2 2
sin 1 cos 1 9 3
A A   
；（2）
sin 2 2
tan cos 5
C
CC
 
【详解】（1）
ABC
中，
2 2 2
3 3 3 2b c a bc 
，所以
2 2 2
2
3
b c a bc 
，
利用余弦定理知，
2 2 2
2
1
3
cos 2 2 3
bc
b c a
Abc bc
 
 
，
因为
(0, )A
，所以
2
1 2 2
sin 1 cos 1 9 3
A A   
；
（2）
ABC
中，
( )B A C
 
，
所以
sin sin( ) 2sinB A C C  
，
即
sin cos cos sin 2sinA C A C C 
，
所以
2 2 1
cos sin 2sin
3 3
C C C 
，
解得
2 2
sin cos
5
C C
，
又
cos 0C
，所以
sin 2 2
tan cos 5
C
CC
 
．
3．如图，在直角
ABC
中，直角边
2AC
，
60A 
，
M
为
AB
的中点，
Q
为
BC
的中点，将三角形
AMC
沿着
MC
折起，使
1
A M MB
，
1
(A
为
A
翻折后所在的点），连接
MQ
．
（1）求证：
1
MQ A B
；
（2）求直线
MB
与面
1
A MC
所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
| | 2 6 6
2 3 3
| | | |
MB n
MB n
 

【详解】（1）证明：取
1
A B
中点
N
，连接
MN
、
NQ
，
因为
1
A M MB
，所以
1
2 2A B
，
4 sin 60 2 3BC  
，
1
2A C
，
所以
2 2 2
1 1
BC A C A B 
，所以
1 1
A C A B
，
1
/ /NQ A C
，
1
1
2
NQ A C
，所以
1
A B NQ
，
又因为
1
MA MB
，所以
1
A B MN
又
MN NQ N
，所以
1
A B
平面
MNQ
，
又因为
MQ
平面
MNQ
，所以
1
MQ A B
．
（2）解：因为
/ /MQ AC
，所以
MQ BC
，
由（1）知，
1
MQ A B
，
1
BC A B B
，所以
MQ
平面
1
AB C
，
建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：
( 3B
，0，
0)
，
( 3C
，0，
0)
，
，1，
0)
，
1
3
(3
A
，0，
2 6 )
3
，
( 3MC  

，
1
，
0)
，
1
3
(3
MA  
，
1
，
2 6 )
3
，
( 3MB

，
1
，
0)
，
设平面
1
A MC
法向量为
(n x
，
y
，
)z
，
1
3 0
3 2 6 0
3 3
MC n x y
MA n x y z
 
 

，令
2x 
，
( 2n 
，
6
，
1)
，
所以直线
MB
与平面
1
A MC
所成角的正弦值为
| | 2 6 6
2 3 3
| | | |
MB n
MB n
 
．
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