专题16 球的内切外接问题高考真题集锦（解析版）-2021年高考数学立体几何中必考知识专练
专题 16：球的内切外接问题高考真题集锦（解析版）
一、单选题
1．2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）
已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为
， ，则球 的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由已知可得等边 的外接圆半径，进而求出其边长，得出 的值，根据球的
截面性质，求出球的半径，即可得出结论.
【详解】
设圆 半径为 ，球的半径为 ，依题意，
得 ， 为等边三角形，
由正弦定理可得 ，
，根据球的截面性质 平面 ，
，
球 的表面积 .
故选：A
【点睛】
本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基
础题.
2．2018 年全国卷Ⅲ理数高考试题
设 是同一个半径为 4的球的球面上四点， 为等边三角形且其面
积为 ，则三棱锥 体积的最大值为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
分析：作图，D为MO 与球的交点，点 M为三角形 ABC 的中心，判断出当 平
面 时，三棱锥 体积最大，然后进行计算可得．
详解：如图所示，
点M为三角形 ABC 的中心，E为AC 中点，
当 平面 时，三棱锥 体积最大
此时，
,
点M为三角形 ABC 的中心
中，有
故选 B.
点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥
的体积公式，判断出当 平面 时，三棱锥 体积最大很关键，由 M
为三角形 ABC 的重心，计算得到 ，再由勾股定理得到 OM，进而
得到结果，属于较难题型．
3．2016 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 3 卷）
在封闭的直三棱柱 内有一个体积为 V的球，若 ， ，
，
，则该球体积 V的最大值是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
试题分析：设 的内切圆半径为 ，则
，故球的最大半径为
，故选 B.
考点：球及其性质.
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