专题16 函数与导数的综合问题- 2022届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）（解析版）

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《专题 16 函数与导数的综合问题- 2022 届高考数学二模试题分类汇
编（新高考卷）》
1．【利用导数研究极值问题】（2022·河南焦作·二模）已知函数 .
(1)求 的极值；
(2)若函数 在区间 上没有极值，求实数 k的取值范围.
【解析】 (1)由题意，函数 ，可得 ，
令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以当 时，函数 取得的极小值为 ，无极大值.
(2)由 ，可得 ，
因为 在区间 上没有极值，所以 在 上单调递增或单调递减，
当 时， 或 恒成立，即 或 恒成立，
即 或 在 恒成立，
设 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
要使 或 恒成立，则 或 ，
即实数 的取值范围是 .
2．【利用导数研究极值问题】（2022·四川泸州·三模）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 有且只有一个极值点，求 a的取值范围．
【解析】 (1)由题意知： ，
当 时，因为 ，所以 在 上恒成立，所以 在 上
是减函数；
当 时，由 得： ，所以 ，所以 在
上是增函数，在 上是减函数.
(2)
， ，因为 有且只有一
个极值点，即 图象只穿过 轴一次，即 为单调减函数或者
的极值同号；
（i） 为单调减函数， 在 上恒成立，则 ，解得
；
（ii） 的极值同号时，设 为极值点，则 ， 有
两个不同的解 ，则 ，且有 ，
所以 ，同理 ，
所以 ，化简得： ，即 ；
当 ， ， ， 有且只有一个极值点.
综上：a的取值范围是 .
3．【利用导数研究最值问题】（2022·甘肃兰州·模拟预测）已知函数 ，
为自然对数的底数．
(1)求 在 处的切线方程；
(2)当 时， ，求实数 a的最大值．
【解析】 (1)由 ，得 ，则
， ，
所以 在 处的切线方程为 ，
(2)
由 ，得 ，
即 ，
当 时，上式成立，
当 时，由 ，得 ，
令 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以当 时， ，
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