专题15 【大题限时练15】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 15 大题限时练 15
1．在①
3 sin cosb C c B c  
，②
2
3
cos cos cos
2 4
A C A C
 
，③
sin sin( )
3
b A a B
 
三个条件中任选
一个，补充在下面问题中，并解决该问题．
在
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且满足____．
（1）求角
B
的大小；
（2）若
14b
，
，求
ABC
的面积．
【答案】见解析
【详解】（1）选①
3 sin cosb C c B c  
，
正弦定理得
3 sin sin sin cos sinB C C B C  
，
因为
C
为三角形内角，
sin 0C
，
所以
3 sin cos 1B B 
，即
2sin( ) 1
6
B
 
，
因为
0B
 
，
所以
3
B
；
②
2
3
cos cos cos
2 4
A C A C
 
，
1 1 3
cos( ) cos cos
2 2 4
A C A C  
，
所以
1 1 1
cos cos sin sin
2 2 4
A C A C  
，即
1
cos( ) 2
A C  
，
故
1
cos 2
B
，
因为
0B
 
，
所以
3
B
；
③
sin sin( )
3
b A a B
 
，
由正弦定理得
sin sin sin sin( )
3
B A A B
  
，
因为
A
为三角形内角，
sin 0A
，
所以
sin sin( )
3
B B
 
，
所以
3
B B
 
，
所以
3
B
；
（2）
14b
，
，
由余弦定理得
2 2 2 2
14 ( ) 3 32 3b a c ac a c ac ac      
，
所以
6ac
，
所以
ABC
的面积
1 3 3 3
sin 6
2 4 2
S ac B  
．
2．已知数列
{ }
n
a
，其前
n
项和为
n
S
，且满足
12a
，
1 1
2
n n
S a
 
．
（1）求
n
S
；
（2）求满足
2
( 2)
n
S n n…
的最小整数
n
．
【答案】（1）
1
2 2 2
n n
n
S
 
；（2）5
【详解】
数列
{ }
n
a
，其前
n
项和为
n
S
，且满足
12a
，
1 1
2
n n
S a
 
．
1 1 1
2( ) 2
n n n n n
S S S S S
 
 
，
数列
{ }
n
S
是首项为 2，公比为 2的等比数列，
1
2 2 2
n n
n
S
 
，
（2）
2
( 2)
n
S n n…
，
2
2nn
，
2 2
2 2
，
2 3
3 2
，
4 2
2 4
，
5 2
2 5
，又因为指数函数的增长速度快，
故满足
2
( 2)
n
S n n…
的最小整数
n
为5．
3．如图，在多面体
ABCDEF
中，底面
ABCD
是边长为 2的菱形，
60BAD  
，四边形
BDEF
是矩形，平
面
BDEF
平面
ABCD
，
3BF
，
G
和
H
分别是
CE
和
CF
的中点．
（1）求证：平面
/ /BDGH
平面
AEF
；
（2）求二面角
H BD C 
的大小．
【答案】（1）见解析；（2）
60
【详解】（1）证明：在
CEF
中，因为
G
，
H
分别是
CE
，
CF
的中点，
所以
/ /GH EF
，又因为
GH
平面
AEF
，
EF
平面
AEF
，
所以
/ /GH
平面
AEF
．
设
AC BD O
，连接
OH
，
因为
ABCD
为菱形，所以
O
为
AC
中点
在
ACF
中，因为
OA OC
，
CH HF
，
所以
/ /OH AF
，
又因为
OH
平面
AEF
，
AF
平面
AEF
，
所以
/ /OH
平面
AEF
．
又因为
OH GH H
，
OH
，
GH
平面
BDGH
，
所以平面
/ /BDGH
平面
AEF
．
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