专题14 圆锥曲线压轴题-备战2022年新高考之湖南模拟题分类汇编（原卷版）
专题 14 圆锥曲线压轴题
1．（2021•湖南模拟）已知动圆
Q
过定点
(2,0)T
，且与
y
轴截得的弦
MN
长为 4，设动圆圆心
Q
的轨迹为
C
．
（1）求轨迹
C
的方程．
（2）设
(1,2)P
，过
(1,0)F
作不与
x
轴垂直的直线
l
交轨迹
C
于
A
，
B
两点，直线
PA
，
PB
分别与直线
1x
相交于
D
，
E
两点，以线段
DE
为直径的圆为
G
．判断点
F
与圆
G
的位置关系，并说明理由．
2．（2021•湖南模拟）已知双曲线
2 2
2 2
: 1( 0, 0)
x y
C a b
a b
的离心率为 2，点
A
为
C
上位于第二象限的动
点，
（1）若点
A
的坐标为
( 2,3)
，求双曲线
C
的方程；
（2）设
B
，
F
分别为双曲线
C
的右顶点、左焦点，是否存在常数
，使得
AFB ABF
．如果存在，
请求出
的值；如果不存在，请说明理由．
3．（2021•湖南模拟）已知椭圆
2 2
2 2
: 1( 0)
x y
C a b
a b
的左、右焦点分别为
1
F
，
2
F
，离心率为
1
2
，过
2
F
的直线与椭圆
C
交于
A
，
B
两点，若△
1
F AB
的周长为 8．
（1）求椭圆
C
的标准方程；
（2）设
P
为椭圆
C
上的动点，过原点作直线与椭圆
C
分别交于点
M
、
N
（点
P
不在直线
MN
上），求
PMN
面积的最大值．
4．（2021•湖南模拟）已知椭圆
2 2
2 2
: 1( 0)
x y
C a b
a b
的左、右焦点分别为
1
F
，
2
F
，点
P
在椭圆
C
上，
且
1 2
| | | | 8PF PF
，△
1 2
PF F
面积的最大值是 8．
（1）求椭圆
C
的标准方程．
（2）若直线
:l x my t
与椭圆
C
交于
A
，
B
两点，点
(0, 4)D
，若直线
AD
与直线
BD
关于
y
轴对称，试
问直线
l
是否过定点？若是，求出该定点坐标；若否，说明理由．
5．（2021•湖南模拟）已知椭圆
2 2
2 2
: 1( 0)
x y
C a b
a b
的右焦点为
( ,0)F c
，离心率
1
2
e
．
（1）若
P
为椭圆
C
上一动点，证明
P
到
F
的距离与
P
到直线
2
a
xc
的距离之比为定值，并求出该定值；
（2）设
1c
，过定点
(0, )c
且斜率为
k
的直线
l
与椭圆
C
交于
M
，
N
两点，在
y
轴上是否存在一点
Q
，使
得
y
轴始终平分
MQN
？若存在，出
Q
点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2021•湖南模拟）某城市决定在夹角为
30
的两条道路
EB
、
EF
之间建造一个半椭圆形状的主题公园，
如图所示，
2AB
千米，
O
为
AB
的中点，
OD
为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游
乐区域
OMN
，其中
M
，
N
在椭圆上，且
MN
的倾斜角为
45
，交
OD
于
G
．
（1）若
3OE
千米，为了不破坏道路
EF
，求椭圆长半轴长的最大值；
（2）若椭圆的离心率为
3
2
，当线段
OG
长为何值时，游乐区域
OMN
的面积最大？
7．（2021•岳麓区校级二模）已知斜率为
k
的直线交椭圆
2 2
3 ( 0)x y
于
A
，
B
两点，
AB
的垂直平
分线与椭圆交于
C
，
D
两点，点
0
(1, )N y
是线段
AB
的中点．
（1）若
0
3y
，求直线
AB
的方程以及
的取值范围；
（2）不管
怎么变化，都有
A
，
B
，
C
，
D
四点共圆，求
0
y
的取值范围．
8．（2021•湖南模拟）已知
A
，
B
分别为椭圆
2 2
2
: 1( 3)
3
x y
E a
a
的左、右顶点，
Q
为椭圆
E
的上顶点，
1AQ QB
．
（Ⅰ）求椭圆
E
的方程；
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