专题11圆锥曲线的方程与性质（测）【解析版】（文科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考文科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 11 圆锥曲线的方程及性质—测

【满分：150 分时间：120 分钟】

1.设抛物线的顶点为 O，焦点为 F，准线为 l，P是抛物线上异于 O的一点，过 P作PQ⊥l于Q.

则线段 FQ 的垂直平分线(　　)

A.经过点 O B.经过点 P

C.平行于直线 OP D.垂直于直线 OP

答案　B

解析　不妨设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p＞0)，

如图所示，连接 PF，

则|PF|＝|PQ|，

则△QPF 为等腰三角形，

∴QF 的垂直平分线过点 P.

2.(2021·新高考Ⅰ卷)已知 F1，F2是椭圆 C：＋＝1的两个焦点，点 M在C上，则|MF1|·|MF2|的最

大值为(　　)

A.13 B.12 C.9 D.6

答案　C

解析　由椭圆 C：＋＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，

则|MF1|·|MF2|≤＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立.故选 C.

3.(2021·西安模拟)已知双曲线－＝1(a，b>0)的渐近线与圆 x2－2x＋y2＋＝0相切，则此双曲线的

离心率等于(　　)

A. B. C. D.2

答案　C

解析　由圆 x2－2x＋y2＋＝0，知圆心 C(1，0)，半径 r＝.

又双曲线－＝1的渐近线 bx±ay＝0，

因此＝，则 a2＝3b2.

∴e2＝＝＝，故 e＝＝.

4.设F1，F2是双曲线 C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点 P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2

的面积为(　　)

A. B.3 C. D.2

答案　B

解析　法一　由题知 a＝1，b＝，c＝2，F1(－2，0)，F2(2，0)，

如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，所以点 P在以 F1F2为直径的圆上，故 PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|

PF2|2＝(2c)2＝16.

由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，

所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，

所以|PF1||PF2|＝6，

所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝3.故选 B.

法二　由双曲线的方程可知，双曲线的焦点 F1，F2在x轴上，且|F1F2|＝2＝4.

设点 P的坐标为(x0，y0)，则解得|y0|＝.

故△PF1F2的面积为|F1F2|·|y0|＝×4×＝3.

5.(2021·河南名校大联考)已知抛物线 C：y2＝8x的焦点为 F，P为C在第一象限上的一点，若 PF

的中点到 y轴的距离为 3，则直线 PF 的斜率为(　　)

A. B.2 C.2 D.4

答案　C

解析　由y2＝8x，知 p＝4，焦点 F(2，0).

由抛物线的定义知 PF 的中点到 y轴的距离等于＝3，

又|PF|＝xP＋2，

∴xP＋2＝6，得 xP＝4，从而 yP＝4.

∴点P(4，4).

所以直线 PF 的斜率为＝2.

6.(2021·兰州调研)已知双曲线 C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，其右支上存在一

点M，使得MF1·MF2＝0，直线 MF2平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线 C的离心率为(　　)

A. B. C.2 D.

答案　D

解析　由MF1·MF2＝0，得 MF1⊥MF2.

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