专题11 解三角形综合题-备战2022年新高考之湖南模拟题分类汇编（解析版）

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专题 11 解三角形综合题
1． （ 2021• 湖 南 模 拟 ） 在
ABC
中 ，
a
，
b
，
c
分 别 为 内 角
A
，
B
，
C
的 对 边 ，
2 2 2 2
2 ( )(1 tan )b b c a A  
．
（1）求角
C
；
（2）若
2 10c
，
D
为
中点，在下列两个条件中任选一个，求
AD
的长度．
条件①：
ABC
的面积
4S
且
B A
；
条件②：
2 5
cos 5
B
．
【答案】（1）
3
4
C
；（2）见解析
【详解】（1）
2 2 2 2
2 ( )(1 tan )b b c a A  
．
2
2 2 cos (1 tan )b bc A A  
．
(cos sin )b c A A 
，
由正弦定理可得：
sin sin (cos sin )B C A A 
，
sin( ) sin cos sin sinA C C A C A  
，
sin cos sin sin 0A C C A  
，
tan 1C  
，解得
3
4
C
．
（2）选择条件②，
2 5
cos 5
B
，
5
sin 5
B 
．
10
sin sin( ) sin cos cos sin 10
A B C B C B C  
，由正弦定理可得：
sin 2 2
sin
c A
aC
 
．
在
ABD
中，由余弦定理可得：
2 2 2 2 cosAD AB BD AB BD B   
，
解得
26AD
．
2． （ 2021• 湖 南 模 拟 ） 已 知
ABC
内 角
A
，
B
，
C
的 对 边 分 别 为
a
，
b
，
c
， 且 满 足
( )(sin sin ) (sin sin )a c A C b A B  
．
（1）求角
C
；
（2）若
ABC
为锐角三角形，且
4a
，求
ABC
面积的取值范围．
【答案】（1）
3
C
 
；（2）
1sin 3 (2 3,8 3)
2 3
S ab b
 
【详解】（1）
( )(sin sin ) (sin sin )a c A C b A B  
，
( )( ) ( )a c a c b a b 
，即
2 2 2
a b c ab  
，
2 2 2
1
cos ,
2 2
a b c
Cab
 
 
(0, )C
，
3
C
 
．
（2）由余弦定理得：
2 2 2
16 2 4 cos 4 16
3
c b b b b
     
，
ABC
为锐角三角形，且
3
C
，
cos 0
cos 0
A
B
，可得
2 2 2
2 2 2
b c a
a c b
 
 
，可得：
2 2
2 2
( 4 16) 16
16 ( 4 16)
b b b
b b b
 
 
，
解得
2 8b 
，
所以
ABC
面积
1sin 3 (2 3,8 3)
2 3
S ab b
 
．
3．（2021•湖南模拟）已知函数
( ) sin( )( 0f x M x M
 
 
，
0
，
)
2 2
 
 
的部分图象如图所示．
（1）求
( )f x
的解析式；
（2）在
ABC
中角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若
2
b ac
，求
f
（B）的取值范围．
【答案】（1）
( ) 2sin(2 )
3
f x x
 
；（2）
f
（B）
( 3 
，
3]
【详解】（1）由图象知
2M
，
11 5
2( )
12 12
T
 
 
，
2
 
，
( ) 2sin(2 )f x x
 
图象过
5
(12
，
2)
，将点
5
(12
，
2)
代入，得
5
sin( ) 1
6
 
，
52
6 2 k
 
 
 
，
k Z
，
2
3k
 
 
，
k Z
，
| | 2
，
3
 
，
( ) 2sin(2 )
3
f x x
 
．
（2）
f
（B）
2sin(2 )
3
B
 
．
由
2
b ac
，
2 2
2a c ac…
，
根据余弦定理，得
2 2 2 2 2
1
cos 2 2 2 2
a c b a c ac ac
Bac ac ac
   
  …
，
当且仅当
a c
时取等号，
1
cos 2
B…
，
(0, )B
，
(0B 
，
]
3
，
2 (
3 3
B
 
 
，
]
3
，
3
sin(2 ) (
3 2
B
 
，
3]
2
，
f
（B）
( 3 
，
3]
，
4．（2021•湖南模拟）在
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，
sin 2 2 sinB B
．
（1）求
B
；
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