专题10直线与圆及相关最值问题（测）【解析版】（理科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 10 直线与圆及相关最值问题—测

【满分：150 分时间：120 分钟】

一、单项选择题（12*5=60 分）

1.设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线 2λx＋(λ－1)y＝1与直线 6x＋(1－λ)y＝4平行”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若直线 2λx＋(λ－1)y＝1与直线 6x＋(1－λ)y＝4平行，

则解得 λ＝－3或λ＝1.

又“λ＝－3”是“λ＝－3或λ＝1”的充分不必要条件，

则“λ＝－3”是“直线 2λx＋(λ－1)y＝1与直线 6x＋(1－λ)y＝4平行”的充分不必要条件.

2.过点 A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　　)

A.y－x＝1 B.y＋x＝3

C.2x－y＝0或x＋y＝3 D.2x－y＝0或y－x＝1

答案　D

解析　当直线过原点时，可得斜率为＝2，

故直线方程为 y＝2x，即 2x－y＝0，

当直线不过原点时，设方程为＋＝1，

代入点(1，2)可得－＝1，解得 a＝－1，

方程为 x－y＋1＝0，

故所求直线方程为 2x－y＝0或y－x＝1.

3.在平面内，A，B是两个定点，C是动点.若AC·BC＝1，则点 C的轨迹为(　　)

A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线

答案　A

解析　以AB 所在直线为 x轴，线段 AB 的垂直平分线为 y轴建立平面直角坐标系，

设点 A，B分别为(－a，0)，(a，0)(a>0)，点 C为(x，y)，

则AC＝(x＋a，y)，BC＝(x－a，y)，

所以AC·BC＝(x－a)(x＋a)＋y·y＝x2＋y2－a2＝1，整理得 x2＋y2＝a2＋1.

因此点 C的轨迹为圆.故选 A.

4.已知直线 l过点 A(a，0)且斜率为 1，若圆 x2＋y2＝4上恰有 3个点到 l的距离为 1，则 a的值为(

)

A.3 B.±3 C.±2 D.±

答案　D

解析　直线 l的方程为 y＝x－a，即 x－y－a＝0.

圆上恰有三个点到直线 l的距离为 1，可知圆心到直线的距离等于半径的一半，则＝1，a＝±.

5.若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2x－y－3＝0的距离为(　　)

A. B. C. D.

答案　B

解析　因为圆与两坐标轴都相切，且点(2，1)在圆上，

所以可设圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，

则(2－a)2＋(1－a)2＝a2，解之得 a＝1或a＝5.

所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，

所以圆心到直线 2x－y－3＝0的距离 d＝＝或 d＝＝.

6.已知点 P为圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上一点，A(0，－6)，B(4，0)，则|PA＋PB|的最大值为(

)

A.＋2 B.＋4 C.2＋4 D.2＋2

答案　C

解析　取AB 中点 D(2，－3)，

则PA＋PB＝2PD，|PA＋PB|＝|2PD|＝2|PD|，

又由题意知，圆 C的圆心 C(1，2)，半径为 2，

|PD|的最大值为圆心 C(1，2)到D(2，－3)的距离 d与半径 r的和，

又d＝＝，∴d＋r＝＋2，

∴2|PD|的最大值为 2＋4，

即|PA＋PB|的最大值为 2＋4.

7.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线 l：ax＋by－r2＝0与圆 C：x2＋y2＝r2，点 A(a，b)，则下列说

法正确的是(　　)

A.若点 A在圆 C上，则直线 l与圆 C相切

B.若点 A在圆 C内，则直线 l与圆 C相离

C.若点 A在圆 C外，则直线 l与圆 C相离

D.若点 A在直线 l上，则直线 l与圆 C相切

答案　ABD

解析　圆心 C(0，0)到直线 l的距离 d＝.

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