专题10-4 排列组合小题归类（理）-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

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专题 10-4 排列组合小题归类
目录
一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1
【题型一】 人坐座位模型 1：捆绑与插空.....................................................................................................1
【题型二】 人坐座位模型 2：染色（平面）.................................................................................................2
【题型三】 人坐座位模型 3：染色（立体空间）.........................................................................................5
【题型四】 书架插书模型：定序....................................................................................................................7
【题型五】 球放盒子模型 1：球不同，盒子也不同.....................................................................................8
【题型六】 球放盒子模型 2：球相同，盒子不同.......................................................................................10
【题型七】 相同元素排列模型 1：数字化法................................................................................................11
【题型八】 相同元素排列模型 2：空车位停车等.......................................................................................13
【题型九】 相同元素排列模型 3：上楼梯等...............................................................................................14
【题型十】 多事件限制重叠型题..................................................................................................................16
【题型十一】多重限制分类讨论型..................................................................................................................18
【题型十二】综合应用.......................................................................................................................................19
二、最新模考题组练...................................................................................................................................................22
【题型一】 人坐座位模型 1：捆绑与插空
【典例分析】
1.有四男生，三女生站一排，其中只有俩个女生相邻:
2.有四男生，4女生站一排，女生若相邻，则最多 2个女生相邻：
解答（1）：先捆绑俩女生，再排列捆绑女生，然后排列四个男生，两个“女生”插孔即可，
（2）分类讨论
【提分秘籍】
基本规律
人坐座位模型：
特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，
剩余座位随人排列。
主要典型题：1.捆绑法;2.插空法；3.染色。
出现两个实践重叠，必要时候，可以使用容斥原理来等价处理：
容斥原理
【变式演练】
1.在某班进行的歌唱比赛中，共有 5位选手参加，其中 3位女生，2位男生．如果 2位男生不能连着出场，
且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为
A．30 B．36 C．60 D．72
【答案】C
【分析】记事件 位男生连着出场，事件 女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排法
种数为 ，再利用排列组合可求出答案．
【详解】
记事件 位男生连着出场，即将 位男生捆绑，与其他 位女生形成 个元素，所以，事件 的排法种数
为 ，
记事件 女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件 的排法种数为
，
事件 女生甲排在第一位，且 位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将 位男生与其他 个女生
形成三个元素，所以，事件 的排法种数为 种，
因此，出场顺序的排法种数
种，故选 C．
2.某次联欢会要安排 3个歌舞类节目、2个小品类节目和 1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的
排法种数是（）
A．144 B．120 C．72 D．48
【答案】B
【分析】先求出只有 3个歌舞类节目不相邻的方法，然后求出 3个歌舞类节目不相邻且 2个小品类节目相
邻的排法，相减可得．
【详解】
先考虑只有 3个歌舞类节目不相邻，排法有 种，
再考虑 3个歌舞类节目不相邻，2个小品类节目相邻的排法有： ，
因此同类节目不相邻的排法种数是 ．
故选：B．
3.2021 年4月15 日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安
全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣
讲，高校乙 高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（､）
A．28 种B．32 种C．36 种D．44 种
【答案】B
【分析】由题意，对高校甲排在第二或第三个进行分类讨论，接着考虑乙和丙的排法，最后考虑其他两所
高校的排法，综合利用分类和分步计数原理进行分析即可.
【详解】
根据题意：分成以下两种情况进行分类讨论
高校甲排在第二个时，高校丁必排在第三个，当乙或丙排在第一个时共有 种排法，当乙或丙不排
在第一个时，乙和丙只能排在第四个和第六个，此时共有 种排法，所以高校甲排在第二个时共有
16 种排法；
高校甲排在第三个时，高校丁必排在第四个，乙或丙只能一个排在第一二个，一个排在第五六个，则共有
种排法；
综上：共有 32 种排法满足题意.
故选：B.
【题型二】 人坐座位模型 2：染色（平面）
【典例分析】
如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜
色给其中 5个小区涂色，规定每个区域只能涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则 A、C区域颜色不相同的概
率是
A.1/7 b.2/7 c.3/7 D.4/7
答案：D
【提分秘籍】
基本规律
染色问题：
1.用了几种颜色
2.尽量先从公共相邻区域开始。
【变式演练】
1.正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用 5种不同的颜色给此正方体六个面染色，
要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种.
A．420 B．600 C．720 D．780
【答案】D
【解析】【分析】
根据对面的颜色是否相同，分①三对面染相同的颜色、②两对面染相同颜色，另一对面染不同颜色、③一
对面染相同颜色，另两对面染不同颜色，分别求出不同的染色方案，最后加总即可.
【详解】
分三类：
1、若三对面染相同的颜色，则有 种；
2、若两对面染相同颜色，另一对面染不同颜色，则有 种；
3、若一对面染相同颜色，另两对面染不同颜色，则有 种；
∴共有 种.
故选：D
2.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，
且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.
A．40320 种B．5040 种C．20160 种D．2520 种
【答案】D
【解析】【分析】
先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，再将剩余的 6种颜色全部涂在剩余的 6个区域内，结
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