专题10-3 概率小题基础-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

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专题 10-3 概率小题基础
目录
一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1
【题型一】 古典概型.........................................................................................................................................1
【题型二】 几何概型 1：长度角度型..............................................................................................................2
【题型三】 几何概型 2：面积型......................................................................................................................4
【题型四】 几何概型 3：体积型......................................................................................................................6
【题型五】 几何概型 4：坐标系型..................................................................................................................9
【题型六】 几何概型 5：线性规划型............................................................................................................11
【题型七】 几何概型 6：近似估值应用型...................................................................................................14
【题型八】 几何概型 7：导数函数等...........................................................................................................16
【题型九】 几何概型 3：微积分型（理科）...............................................................................................17
【题型十】 圆锥曲线中的几何概型..............................................................................................................19
【题型十一】 综合应用...................................................................................................................................21
二、最新模考题组练...................................................................................................................................................24
【题型一】 古典概型
【典例分析】
已知数据 1，2，3，4， 的平均数与中位数相等，从这 5个数中任取 2个，则这 2个数字之积大
于5的概率为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】分析：由题意首先求得实数 x的值，然后列出所有可能的结果，从中挑选满足题意的结果结合古
典概型计算公式即可求得最终结果.
详解：由数据 1，2，3，4，x（0<x<5）的平均数 ，
可得 2+ =x，所以 x=，从这 5个数中任取 2个，结果有： 共 10 种，这 2个数字
之积大于 5的结果有： ，共 5种，所以所求概率为 .本题选择 B选
项.
【提分秘籍】
基本规律
P(A)＝＝.
【变式演练】
1.已知函数 ，其中 ，则函数 在 上是增函数的概率
为
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：原命题等价于 在 恒成立
，符合上述不等式的有
所求概率 ,故选 D.
2.．投掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为 6的概率等于
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：基本事件 种，符合题意的为 共四种，故概率为 .
3.笼子中有 2只鸡和 2只兔，从中依次随机取出一只动物，直到 4只动物全部取出.如果将两只兔子中的某
一只起名为“长耳朵”，则“长耳朵”恰好是第 2只被取出的动物的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
依据古典概型即可求得“长耳朵”恰好是第 2只被取出的动物的概率；
【详解】把 2只鸡记为 ， ，2只兔子分别记为“长耳朵”H和短耳朵 h，
则从笼中依次随机取出一只动物，直到 4只动物全部取出，共有如下 24 种不同的取法：
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
其中“长耳朵”H恰好是第 2只被取出的动物，则共有 种不同的取法.
则“长耳朵”恰好是第 2只被取出的动物的概率 .故选：D
【题型二】 几何概型 1：长度角度
【典例分析】
在矩形 中， ，在 边上随机取一点 ，若 是 最大边的概率为 ，则
（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在矩形 中，取边 的中点为 ，则在边 上存在关于点 对称的两点 ， ，使
.设 ，根据概率求出 ，得出边长关系即可得解.
【详解】如图，取边 的中点为 ，则在边 上存在关于点 对称的两点 ， ，使 .设
，因为 是 最大边的概率为 ，所以 .过点 作 ，则 ， ，
则 ，所以 ，故 .
故选：D
【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.如图所示，两半径相等的圆 ，圆 相交， 为它们的公切线段，且两块阴影部分的面积相等，在线段
上任取一点 ，则 在线段 上的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据题意先求出矩形 ABCD 的面积，从而求出 AB,EF 即可
【详解】设圆的半径为 ．由题意可得
所以 ，
所以 .故选：C.
2.在区间 上随机地取一个数 ，则事件“ ”发生的概率为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意得， 由 得， 或
则事件“ ”发生的概率为 ,故选 A.
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