专题10-2 概率压轴大题(理）-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（原卷版）

3.0 envi 2025-03-06 22 4 1013.68KB 16 页 3知币

专题 10-2 概率压轴大题(理）

一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1

【题型一】马尔科夫链基础............................................................................................................................1

【题型二】马尔科夫链之传球模型................................................................................................................2

【题型三】游走模型.........................................................................................................................................4

【题型四】药物实验模型................................................................................................................................6

【题型五】商场促销.........................................................................................................................................7

【题型六】证明概率、期望等不等式............................................................................................................8

【题型七】摸球与射击模型..........................................................................................................................10

【题型八】模拟压轴题选讲..........................................................................................................................10

二、最新模考题组练...................................................................................................................................................13

【题型一】马尔科夫链基础模型

【典例分析】

某餐厅供应 1 000 名学生用餐，每星期一有 A、B两种菜可供选择，调查资料显示星期一选 A菜的学生中有

20%在下周一选 B菜，而选 B菜的学生中有 30%在下周一选 A菜，用 An、Bn分别表示在第 n个星期一选 A

菜、B菜的学生数，试写出 An与An－1的关系及 Bn与Bn－1的关系．

【提分秘籍】

基本规律

1.马尔科夫链：在 n+1 时刻的状态，只跟第 n刻的状态有关，与 n-1，n-2,n-3。。。等时刻状态是“没

有任何关系的”。

2.和数列递推通项结合

【变式演练】

1.小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为 4的倍数，则由原投

掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是 4的倍数，则由对方接着投掷．

（1）规定第 1次从小明开始．

（ⅰ）求前 4次投掷中小明恰好投掷 2次的概率；

（ⅱ）设游戏的前 4次中，小芳投掷的次数为，求随机变量的分布列与期望．

（2）若第 1次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率．

2.一袋中有大小、形状相同的 2个白球和 10 个黑球，从中任取一球．如果取出白球，则把它放回袋中；如

果取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复次这样的操作后，记袋中的白球个数为

．

（1）求；

（2）设，求；

（3）证明：．

【题型二】马尔科夫链之传球模型

【典例分析】

现有甲、乙、丙、丁四个人相互之间传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个

人，依次类推．

（1）通过三次传球，球经过乙的次数为 X，求 X的分布列与期望；

（2）设经过 n次传球后，球落在甲手上的概率为，

①求，；

②求，并简要解释随着传球次数的增多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率相等．

【提分秘籍】

基本规律

传球模式是经典的马尔科夫链应用。注意寻找里边的数列递关系。

【变式演练】

1.足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱．

（Ⅰ）为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决

定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每

人最多踢点球 3次．

下表是某同学 6次的训练数据，以这150 个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率．为加入足球社

团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，他在测试中所踢的点球次数记为，求

的分布列及数学期望；

（Ⅱ）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，

接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开

始传球的人为第 1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．

（i）求（直接写出结果即可）；

（ii）证明：数列为等比数列，并判断第19 次还是第 20 次触球者是甲的概率大．

2.中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神.女排精神的具体表现为：扎扎实实，勤

学苦练，无所畏惧，顽强拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻苦钻研，勇攀高峰.女排精神对各行各业的劳动者

起到了激励、感召和促进作用，给予全国人民巨大的鼓舞.

（1）看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时

间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格：

月份 x1 2 3 4 5

体重超重的人数 y640 540 420 300 200

若该大学体重超重人数 y与月份变量 x（月份变量 x依次为 1，2，3，4，5…）具有线性相关关系，请预测

从第几月份开始该大学体重超重的人数降至 10 人以下？

（2）在某次排球训练课上，球恰由 A队员控制，此后排球仅在A队员、B队员和C队员三人中传递，已知

每当球由 A队员控制时，传给 B队员的概率为，传给 C队员的概率为；每当球由 B队员控制时，传给

A队员的概率为，传给 C队员的概率为；每当球由 C队员控制时，传给 A队员的概率为，传给 B队

员的概率为 .记，，为经过 n次传球后球分别恰由 A队员、B队员、C队员控制的概率.

（i）若，B队员控制球的次数为 X，求；

（ii）若，，，，，证明：为等比

数列，并判断经过 200 次传球后 A队员控制球的概率与的大小.

附1：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；

附2：参考数据：， .

3.排球队的名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他人的概率相等，由甲开始传球

（1）求前次传球中，乙恰有次接到球的概率；

（2）设第次传球后球在乙手中的概率为，求．

【题型三】游走模式

【典例分析】

质点在轴上从原点出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动

2个单位的概率为，设质点运动到点的概率为．

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