专题10-1 统计大题：线性和非线性回归与残差-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

3.0 envi 2025-03-06 14 4 2.51MB 39 页 3知币

专题 10-1 统计：线性和非线性回归与残差

一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1

【题型一】线性回归.........................................................................................................................................1

【题型二】

残差

.................................................................................................................................................5

【题型三】剔除数据重新计算........................................................................................................................7

【题型四】非线性回归 1：指数型................................................................................................................11

【题型五】非线性回归 2：反比例型...........................................................................................................15

【题型六】非线性回归 3：对数型................................................................................................................20

【题型七】非线性回归 4：其他类型...........................................................................................................23

二、最新模考题组练...................................................................................................................................................27

【题型一】线性回归

【典例分析】

如图是某地 2014 年至 2020 年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）的折线图.

注：年份代码 1～7分别对应年份 2014～2020.

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；

(2)建立关于的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2022 年某地生活垃圾无害化处理量.

附注：

参考数据：，，， .

参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式

分别为， .

【答案】(1)存在较强的正相关关系，理由见解析

(2) ，1.82 万吨

【分析】

（1）、结合参考数据及参考公式求出相关系数，进而可以得出结论；

（2）、根据参考公式求出回归直线方程，进而可以根据回归直线方程进行数据统计.

(1)

由折线图看出，与之间存在较强的正相关关系，理由如下：

，，，，

，故与之间存在较强的正相关关系.

(2)由（1）结合题中数据可得，

，

关于的回归方程，2022 年对应的值为 9，故，

预测 2022 年该地生活垃圾无害化处理量为 1.82 万吨.

【提分秘籍】

基本规律

1.直线型回归常规；2.相关系数应用。

【变式演练】

1.2020 年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利．某市积极探索区域特色经

济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收，某商

家统计了 7个月的月广告投入（单位：万元）与月销量（单位：万件）的数据如表所示：

月广告投

入/万元 1234567

月销量

/万件 28 32 35 45 49 52 60

（1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明，并求关于的线性回归方程；

（2）根据（1）的结论，预计月广告投入大于多少万元时，月销量能突破 70 万件．

参考数据：，，．

参考公式：相关系数；

回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

【答案】（1）相关系数，线性回归模型能够很好地拟合与的关系；；（2）9.04

万元．

【分析】

（1）现根据题中数据求得相关系数，从而说明线性回归模型能够很好地拟合与的关系，再根

据题中数据求得和，进而求得回归方程；

（2）解不等式即可求出结果.

【详解】

（1）由题意，知，

∴

．

结合，可得，

相关系数，

显然与的线性相关程度相当高，从而线性回归模型能够很好地拟合与的关系．

易知，

，

∴．

∴关于的线性回归方程为．

（2）若月销量突破 70 万件，则，

解得．

故当月广告投入大于 9.04 万元时，月销量能突破 70 万件．

2.根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安

全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开

展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要

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