专题10 椭圆、双曲线与抛物线-备战2023年高考数学母题题源解密（新高考卷）（解析版）

3.0 envi 2025-03-06 16 4 1.35MB 23 页 3知币
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专题 10 椭圆、双曲线与抛物线
【母题来源】2022 年新高考 I卷
【母题题文】已知椭圆
C:x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)
，
C
的上顶点为
A
，两个焦点为
F1
，
F2
，离心率为
1
2
，过
F1
且垂直于
的直线与
C
交于
D
，
E
两点，
¿DE∨¿6
，则
△ADE
的周长是．
【答案】
13
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了运算求解能
力，属于中档题．
【解答】
解：由椭圆离心率为
1
2
，可得
a=2c
，则
b=❑
√
a2− c2=❑
√
3c
，
则
C
：
x2
4c2+y2
3c2=1
，
A(0,❑
√
3c)
，
F1(−c , 0)
，
F2(c , 0)
，
易得
lA F2
：
y=−❑
√
3x+❑
√
3c
，
lED
：
y=❑
√
3
3(x+c)
，
可解得
A F2
与
DE
的交点
M(c
2,
❑
√
3c
2)
，
故直线
DE
垂直平分
A F2
，即
EA=E F2
，
DA=D F2
，
又
{
x2
4c2+y2
3c2=1
y=
❑
√
3
3(x+c)
⇒13 x2+8cx − 32 c2=0⇒
{
xD+xE=−8c
13
xDxE=−32 c2
13
∴∨DE∨¿❑
√
1+1
3∨xD− xE∨¿6⇒¿
，
所以
△ADE
的周长
AD+AE+DE=D F2+E F2+D F1+E F1=4a=8c=13
．
【母题题文】已知
O
为坐标原点，点
A(1,1)
在抛物线
C:x2=2py (p>0)
上，过点
B(0, −1)
的直线交
C
于
P
，
Q
两点，则
¿

¿
A.
C
的准线为
y=−1
B.直线
AB
与
C
相切
C.
¿OP∨⋅∨OQ∨¿
|
OA
|
2
D.
¿BP∨⋅∨BQ∨¿∨BA ¿2
【答案】
BCD
【解析】
【分析】
本题考查了直线与抛物线的位置关系，属较难题．
【解答】
解：点
A(1,1)
在抛物线
C:x2=2py (p>0)
上，即
1=2p⇒C:x2=y
，所以准线为
y=−1
4
，所以
A
错
;
直线
AB:y=2x −1
代入
x2=y
得：
x2−2x+1=0⇒¿
，所以
AB
与
C
相切，故B正确．
由题知直线
PQ
的斜率一定存在，则可设直线
PQ :y=kx −1
，
P(x1, y1)
，
Q(x2, y2)
，则
{
y=kx −1
y=x2⇒x2− kx +1=0
，
Δ=k2−4>0⇒k<−2
或
k>2
，
此时
{
x1+x2=k
x1x2=1,¿
¿OP∨⋅∨OQ∨¿❑
√
(x1
2+y1
2)( x2
2+y2
2)=❑
√
(y1+y1
2)( y2+y2
2)=❑
√
¿¿
，故C正确
;
¿BP∨⋅∨BQ∨¿❑
√
1+k2∨x1−0∨❑
√
1+k2∨x2−0∨¿(1+k2)∨x1x2∨¿(1+k2)>5=¿BA ¿2
，故D正确．
【母题来源】2022 年新高考 II 卷
【母题题文】已知直线
l
与椭圆
x2
6+y2
3=1
在第一象限交于
A
，
B
两点，
l
与
x
轴
y
轴分别相交于
M
，
N
两
点，且
¿MA∨¿∨NB∨¿
，
¿MN ∨¿2❑
√
3
，则直线
l
的方程为．
【答案】
x+❑
√
2y − 2❑
√
2=0
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的中点弦问题，属于偏难题。
【解答】
解：取
AB
的中点为
E
，因为
¿MA∨¿∨NB∨¿
，所以
¿ME∨¿∨NE ∨¿
，设
A(x1, y1)
，
B(x2, y2)
可得
y1+y2
x1+x2
×y1− y2
x1− x2
=−1
2
，即
kOE
．
kAB ≤ − 1
2.
设直线
AB:y=kx +m
，
k<0
，
m>0
，
令
x=0
，
y=m
，令
y=0
，
x=−m
k
，所以
E(−m
2k,m
2)
，所以
k × m
−m
k
=− k2=−1
2
，
k=−
❑
√
2
2
，
m2+2m2=12
，
m=2
，所以直线
AB:y=−
❑
√
2
2x+2
，即
x+❑
√
2y − 2❑
√
2=0
．
【母题题文】已知
O
为坐标原点，过抛物线
C:y2=2px (p>0)
的焦点
F
的直线与
C
交于
A
，
B
两点，点
A
在
第一象限，点
M(p , 0)
，若
¿AF∨¿∨AM ∨¿
，则
()
A.直线
AB
的斜率为
2❑
√
6
B.
¿OB∨¿∨OF∨¿
C.
¿AB∨¿4∨OF ∨¿
D.
∠OAM+∠OBM <180∘
【答案】
ACD
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的定义和性质，属于中档题。
【解答】
解：选项A
:
设
FM
中点为
N
，则
xA=xN=
P
2+P
2=3
4p
，所以
yA
2=2p x A=2p⋅3
4p=3
2p2(yA>0)
，所以
yA=❑
√
6
2p
，故
kAB =
❑
√
6
2P
3
4P − P
2
=2❑
√
6
．
选项B
:1
¿AF∨¿+1
¿BF∨¿=2
p⇒1
3
4p+p
2
+1
¿BF∨¿=2
p⇒∨BF∨¿5
6p=XB+p
2⇒XB=p
3¿
¿
¿
所以
yB
2=2P⋅p
3=2p2
3.
所以
¿OB∨¿xB
2+yB
2=p2
9+2p2
3n=7p2
9≠p2
4
．
选项C
:∨AB∨¿3
4p+p
3+p=25
12 p>2p=4∨OF∨¿
．
选项D
:
由选项A，
B
知
A(3
4p ,
❑
√
6
2p)
，
B(p
3, −
❑
√
6
3p)
，所以
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