专题10 数列综合题-备战2022年新高考之湖南模拟题分类汇编（原卷版）

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专题 10 数列综合题

1．（2021•湖南模拟）已知数列的前项和为，满足，．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）若数列的公差不为 0，数列中的部分项组成数列，，，，，恰为等比数列，

其中，，，求数列的通项公式．

2．（2021•湖南模拟）已知正项数列的首项，其前项和为，且与的等比中项是．

（1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）数列满足，其前项和为，求使得的的取值范围．

3．（2021•湖南模拟）已知是等差数列，其前项和为，若，，成等比数列且

，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，，恒成立，求实数的取值范围．

4．（2021•湖南模拟）已知正项数列的前项和为，．

（1）证明：数列是等差数列．

（2）若，求数列的前项和为．

5．（2021•湖南模拟）已知是数列的前项和，，，．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求．

6．（2021•永州二模）给定三个条件：① ，，成等比数列，② ，③ ，从上

述三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．

问题：设公差不为零的等差数列的前项和为，且，

（1）求数列的通项：

（2）若，数列的前项和，求证：．

7．（2021•湖南模拟）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，若数列

满足，，且等式对任意成立．

（1）求数列的通项公式；

（2）将数列与的项相间排列构成新数列，，，，，，，，设该新数列为，

求数列的通项公式和前项的和；

（3）对于（2）中的数列前项和，若对任意都成立，求实数的取值范围．

8．（2021•湖南模拟）已知数列的前项和满足．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）数列的前项和是，若存在，使得成立，求实数的取值范围．

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