专题9-4 圆锥曲线点代入和非对称等题型归纳-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（原卷版）

3.0 envi 2025-03-06 4 4 1.37MB 16 页 3知币

专题 9-4 圆锥曲线点代入和非对称等题型

一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1

【题型一】基础型：韦达定理+点代入法........................................................................................................1

【题型二】定比分点型：a= b........................................................................................................................2

【题型三】点代入型：抛物线独有的代入方法..............................................................................................3

【题型四】非对称型：利用韦达定理构造“和积”消去型..........................................................................4

【题型五】切线型...............................................................................................................................................5

【题型六】暴力计算型：求根公式直接硬解..................................................................................................6

【题型七】无韦达定理型：点代入法..............................................................................................................8

【题型八】坐标运算.........................................................................................................................................10

【题型九】综合题.............................................................................................................................................11

二、最新模考题组练...................................................................................................................................................12

【题型一】基础型：韦达定理+点带入法

【典例分析】

已知椭圆

2 2

: 1( 0)

x y

C a b

a b

   

的离心率为

，过右焦点 F的直线

与

相交于

、

两点，

当

的斜率为 1时，坐标原点

到

的距离为

（I）求

，

的值；

（II）

上是否存在点 P，使得当

绕F转到某一位置时，有

OP OA OB 

                            

成立？

若存在，求出所有的 P的坐标与

的方程；若不存在，说明理由。

【提分秘籍】

基本规律

1.图形特征依旧有“一直一曲”的

2.在代点时，遵循：“交点不止在直线上，也在曲线上”

3.授课时，可以和点差法题型结合对比

【变式演练】

1.P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线 E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M、N分别是双曲线 E的左、右顶点，

直线 PM，PN 的斜率之积为.

(1)求双曲线的离心率；

(2)过双曲线 E的右焦点且斜率为 1的直线交双曲线于 A，B两点，O为坐标原点，C为双曲

线上一点，满足

＝λ ＋

，求 λ的值．

2.已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等

边三角形的三个顶点，直线 l经过点，倾斜角为 45°，与椭圆交于 A、B两点.

（1）若，求椭圆方程；

（2）对（1）中椭圆，求的面积；

（3）M是椭圆上任意一点，若存在实数，，使得，试确定，满足的等式关

系.

3．过椭圆：的左焦点作其长轴的垂线与的一个交点为，右焦点为，若

（1）求椭圆的离心率；

（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若椭圆上存在点使得，求

椭圆的方程.

【题型二】定比分点型：a= b

【典例分析】

设动点 M(x , y)到直线 y=3 的距离与它到点 F(0, 1)的距离之比为

，点 M的轨迹为曲线 E.

（I）求曲线 E的方程：

（II）过点 F作直线 l与曲线 E交于 A, B 两点，且

AF FB





              

．当



 

3时，求直线 l斜率 k的取值

范围·

【提分秘籍】

基本规律

利用公式，可消去

【变式演练】

1.抛物线 C：，F是C的焦点，过点 F的直线与 C相交于 A、B两点，O为坐标原点．

（1）设的斜率为 1，求以 AB 为直径的圆的方程；

（2）若，求直线的方程．

2.在圆上任取点，过点作轴的垂线，是垂足，点满足： .

（1）求点的轨迹方程；

（2）若，过点作与坐标轴不垂直的直线与点的轨迹交于、两点，点是点关于

轴的对称点，试在轴上找一定点，使、、三点共线，并求与面积之比的取值范

围.

3.已知点 A，B的坐标分别是，，直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积为 .

（1）求点 M轨迹 C的方程；

（2）若过点的直线 l与（1）中的轨迹 C交于不同的两点 E､F（E在D､F之间），，试

求的取值范围.

【题型三】点带入型：抛物线独有的代入方法

【典例分析】

已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，点到的距离比点到轴的距离

大1．过点作抛物线的切线，设其斜率为 .

（1）求抛物线的方程；

（2）直线与抛物线相交于不同的两点，（异于点），若直线与直线的斜率互

为相反数，证明：．

【提分秘籍】

基本规律

抛物线可以设点，设二次不设一次，达到消元的目的，如

【变式演练】

1.已知抛物线过点．

（1）求抛物线的方程；

（2）求过点的直线与抛物线交于、两个不同的点(均与点不重合)．设直线、的

斜率分别为、，求证：为定值．

2.在平面直角坐标系中，设点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交

点，， .

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