专题9-3 圆锥曲线压轴大题五个方程框架十种题型-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)(原卷版)

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专题 9-3 圆锥曲线压轴大题五个方程框架十种题型

一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1

【题型一】五个方程题型框架............................................................................................................................1

【题型二】直线设法...........................................................................................................................................2

【题型三】双变量设法核心理解......................................................................................................................3

【题型四】直线过定点.......................................................................................................................................5

【题型五】圆过定点...........................................................................................................................................6

【题型六】面积的几种求法（基础）..............................................................................................................7

【题型七】面积最值（难点）..........................................................................................................................7

【题型八】定值...................................................................................................................................................9

【题型九】最值与范围（难点）....................................................................................................................10

【题型十】第六个方程的积累（难点）........................................................................................................10

二、最新模考题组练...................................................................................................................................................12

【题型一】五个方程题型框架

【典例分析】

已知圆 C经过两点 A(2，2)，B(3，3)，且圆心 C在直线 x－y+1=0 上.

（1）求圆 C的标准方程；

（2）设直线 l：y=kx+1 与圆 C相交于 M，N两点，O为坐标原点，若，求|MN|的值.

【提分秘籍】

“五个方程”（过去老高考对韦达定理型的直观称呼。）参考【典例分析】

1. 一直一曲俩交点。

2. 直线有没有？是那种未知型的？

已知过定点。则可设为，同时讨论 k不存在情况。如

3.曲线方程有没有？俩交点：设为

4.联立方程，消 y或者消 x，建立一元二次方程，同时不要忘了判别式

或者

5. 得到对应的韦达定理

或

6. 目标，就是把题中问题转化为第六个关于韦达定理的方程或者不等式，代入求解

【变式演练】

1.椭圆：的左右焦点分别为，，P为椭圆 C上一点.

（1）当 P为椭圆 C的上顶点时，求；

（2）若，求满足条件的点 P的个数；（直接写答案）

（3）直线与椭圆 C交于 A，B，若，求 k.

2.已知动点 P到点（0，1）的距离与到直线 y＝2的距离的比值为，动点 P的轨迹为曲线 C．

（1）求曲线 C的方程；

（2）直线 y＝kx+1 与曲线 C交于 A，B两点，点 M（0，2），证明：直线 MA，MB 的斜率之和为 0．

3.设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段

长为 3.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的下顶点，为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若

，求的值.

【题型二】直线设法

【典例分析】

已知抛物线，过点的直线交抛物线于，两点.

（1）求抛物线的焦点坐标及准线方程；

（2）证明：以线段为直径的圆过原点 .

【提分秘籍】

如果所过定点在 x轴上，为（m，0），也可以设为，此时包含了斜率不存在的情况，但是反而

不包含 x轴这条直线。

【典例分析】把两种设法都展示出来供参考。

选择不同直线的设法，是因为：

1.避免对 k不存在情况讨论，可以把 k不存在的情况包含在里边。

2.两种直线形式设法，有时候在计算中可以降低参数的计算量：如过点（1,0）直线，设成与

代入到圆锥曲线中，明显的后边这种设法代入计算时要稍微简单点。

3.2011 年以来，最早出现这种设直线法的高考题是 2012 年的重庆试卷压轴大题，教师授课时可搜集补充教

学。

4.授课时，如有可能，尽量把两种设法，都让学生同时做做，做个对比，既能看出这种设法在某些试题中

的计算优势，又不过分拔高这种设法的效果。如【典例分析】。建议授课时，把班里学生分为两组，每组

挑出一个代表上讲台演版分别用着不同方法做这道题。

【变式演练】

1.已知椭圆 E：

2 2

2 2 1(a 0)

x y b

a b

+ = > >

过点

(0, 2）

，且离心率为

．

( )Ⅰ求椭圆 E的方程；

( )Ⅱ设过点（0，-1)直线交椭圆 E于A，B两点，判断点G

- , 0)

与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说

明理由．

2.已知双曲线：的离心率为，点在上，为的右焦点.

（1）求双曲线的方程；

（2）设为的左顶点，过点作直线交于（不与重合）两点，点是的中点，求证：

3. 如图，设椭圆的中心为原点 O，长轴在 x轴上，上顶点为 A，左右焦点分别为

21,FF

，线段

1 2

,OF OF

的

中点分别为

21,BB

，且△

21BAB

是面积为 4的直角三角形。

（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；

（Ⅱ）过 B做直线

交椭圆于 P，Q两点，使

QBPB 

，求直线

的方程

【题型三】双变量直线核心理解

【典例分析】

已知点 M为直线 l1：x＝－1上的动点，N(1，0)，过 M作直线 l1的垂线 l，l交MN 的中垂线于点 P，记点P

的轨迹为 C．

（1）求曲线 C的方程；

（2）若直线 l2：y＝kx＋m(k≠0)与圆 E：(x－3)2＋y2＝6相切于点 D，与曲线 C交于 A，B两点，且 D为线

段AB 的中点，求直线 l2的方程．

【提分秘籍】

当题中的直线既无斜率，又不过定点线，就要设成“双变量”型：，依旧得讨论 k是否存在情

况

当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。

（1）

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