专题9-2 轨迹八类求法-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)(原卷版)

3.0 envi 2025-03-06 17 4 846.37KB 10 页 3知币

专题 9-2 轨迹八类求法

一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1

【题型一】直接法求轨迹...................................................................................................................................1

【题型二】相关点代入法求轨迹......................................................................................................................2

【题型三】定义法求轨迹...................................................................................................................................2

【题型四】交轨法求轨迹...................................................................................................................................3

【题型五】参数求轨迹.......................................................................................................................................4

【题型六】立体几何中的轨迹..........................................................................................................................4

【题型七】向量与求轨迹...................................................................................................................................6

【题型八】新高考：复数中求轨迹..................................................................................................................7

二、最新模考题组练.....................................................................................................................................................8

一般情况下，求轨迹题，多在解析几何大题第一问，小题不太多。本专题例题所选大题，大多把第二问隐

去。第二问放到下一个专题中归纳细讲。

【题型一】直接法求轨迹

【典例分析】

设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（

）

A．B．

C．D．

【提分秘籍】

可以直接列出等量关系式

解题步骤：

1.根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。）

2.根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。

3.注意“多点”和“少点”，一般情况下，斜率和三角形顶点等约束条件

【变式演练】

1.若两定点 A，B的距离为 3，动点 M满足，则 M点的轨迹围成区域的面积为（）

A．B．C．D．

2.已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且

，则动点的轨迹 C的方程为（）

A．B．

C．D．

3. 已知 M(4,0)，N(1,0)，若动点 P满足MN·MP＝6|NP|.(1)求动点 P的轨迹 C的方程；

【题型二】相关点代入法

【典例分析】

已知△

ABC

的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程．

【提分秘籍】

一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或者两个多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来寻求代

换关系。

1、求谁设谁，设所求点坐标为（x，y）

2、所依赖的点称之为“参数点”，设为或等

3、“参数点”满足某个（些）方程，可供代入

4、寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值。

5、代入方程，消去参数值

【变式演练】

1.已知抛物线的焦点为 .

(1)点满足 .当点在抛物线上运动时,求动点的轨迹方程;

2.已知圆与直线相切，点为圆上一动点，轴于点，

且动点满足，设动点的轨迹为曲线 .

（1）求动点的轨迹曲线的方程；

3.设F(1,0)，M点在 x轴上，P点在 y轴上，且MN＝2MP，PM⊥PF，当点 P在y轴上运动时，求点 N的轨

迹方程．

【题型三】定义法

【典例分析】

已知动圆过定点，且与圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程．

【提分秘籍】

若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，就用定义直接求．

1. 椭圆，双曲线，抛物线的定义

2. 一些特殊图像的定义，如阿波罗尼斯圆

3. 两个圆内外切情况下，较多与圆锥曲线定义有关

【变式演练】

1、已知两个定圆 O1:(x+2)2＋y2＝1：和O2(x-2)2＋y2＝4，它们的半径分别是 1和2，.动圆 M与圆 O1内切，

又与圆 O2外切，求动圆圆心 M的轨迹方程，

2、已知点

(

4,0

)

，直线

l:x=− 1

，点

是直线

上动点，若过

垂直于

轴的直线与线段

的垂直

平分线交于点

，则点

的轨迹是（）

A、双曲线 B、抛物线 C、椭圆 D、圆

3.已知点满足条件 .

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

【题型四】交轨法

【典例分析】

如图，椭圆

：

2 2

2 2 1( 0

x y a b

a b

   

，

为常数)，动圆

2 2 2

1 1

:C x y t 

，

b t a 

。点

1 2

,A A

分

别为

的左，右顶点，

与

相交于

，

四点。

(Ⅰ)求直线

与直线

A B

交点 M 的轨迹方程;

【提分秘籍】

交轨法，即轨迹交点法。

1. 所求点满足条件方程 1

2. 所求点满足条件方程 2

3. 动点是两轨迹方程，则满足两个轨迹所组成的方程组，通过两个方程选择适当的技巧消

去参数得到轨迹的普通方程

4. 参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径

灵活多变.

【变式演练】

1.已知是椭圆

a2+y2

b2=1

中垂直于长轴的动弦，、是椭圆长轴的两个端点，求直线和

的交点的轨迹方程。

2.由圆外一定点向圆做割线，交圆周于 A、B 两点，求弦 AB 中点的轨迹

【题型五】参数法

【典例分析】

如图 3 所示，过双曲线 C：的左焦点 F 作直线 l 与双曲线交于 P、Q，以 OP、OQ 为邻

边作平行四边形 OPMQ，求点 M 的轨迹方程。

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