专题9-2 轨迹八类求法-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)(解析版)

3.0 envi 2025-03-06 16 4 2.03MB 27 页 3知币

专题 9-2 轨迹八类求法

一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1

【题型一】直接法求轨迹...................................................................................................................................1

【题型二】相关点代入法求轨迹......................................................................................................................2

【题型三】定义法求轨迹...................................................................................................................................4

【题型四】交轨法求轨迹...................................................................................................................................5

【题型五】参数求轨迹.......................................................................................................................................6

【题型六】立体几何中的轨迹..........................................................................................................................8

【题型七】向量与求轨迹................................................................................................................................12

【题型八】新高考：复数中求轨迹................................................................................................................17

二、最新模考题组练...................................................................................................................................................19

一般情况下，求轨迹题，多在解析几何大题第一问，小题不太多。本专题例题所选大题，大多把第二问隐

去。第二问放到下一个专题中归纳细讲。

【题型一】直接法求轨迹

【典例分析】

设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（

）

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】

设动点，根据已知条件，结合斜率公式，即可求解.

【详解】

解：设动点，则，则，，，

直线与直线的斜率之积为定值，，化简可得，，

故点的轨迹方程为 .故选：C.

【提分秘籍】

可以直接列出等量关系式

解题步骤：

1.根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。）

2.根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。

3.注意“多点”和“少点”，一般情况下，斜率和三角形顶点等约束条件

【变式演练】

1.若两定点 A，B的距离为 3，动点 M满足，则 M点的轨迹围成区域的面积为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】

以点 A为坐标原点，射线 AB 为x轴的非负半轴建立直角坐标系，求出点 M的轨迹方程即可计算得解.

【详解】

以点 A为坐标原点，射线 AB 为x轴的非负半轴建立直角坐标系，如图，设点，

则，化简并整理得：，

于是得点 M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其面积为，

所以 M点的轨迹围成区域的面积为 .故选：D

2.已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且

，则动点的轨迹 C的方程为（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【分析】

设点，得到，结合，列出方程，即可求解.

【详解】

设点，则，因为且，所以，

即，整理得，所以动点的轨迹的方程为 .故选：A

3.已知 M(4,0)，N(1,0)，若动点 P满足MN·MP＝6|NP|.(1)求动点 P的轨迹 C的方程；

解　(1)设动点 P(x，y)，则MP＝(x－4，y)，MN＝(－3,0)，PN＝(1－x，－y)，

由已知得－3(x－4)＝6，化简得 3x2＋4y2＝12，即＋＝1.∴点P的轨迹方程是椭圆 C：＋＝1.

【题型二】相关点代入法

【典例分析】

已知△

ABC

的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程．

【解析】解：设，，由重心公式，得

又在抛物线上，．　　　③

将①，②代入③，得，即所求曲线方程是．

【提分秘籍】

一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或者两个多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来寻求代

换关系。

1、求谁设谁，设所求点坐标为（x，y）

2、所依赖的点称之为“参数点”，设为或等

3、“参数点”满足某个（些）方程，可供代入

4、寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值。

5、代入方程，消去参数值

【变式演练】

1.已知抛物线的焦点为 .

(1)点满足 .当点在抛物线上运动时,求动点的轨迹方程;

【答案】(1)设动点的坐标为 ,点的坐标为 ,则 ,

因为的坐标为 ,所以 ,

由得 .

即解得代入 ,得到动点的轨迹方程为 .

2.已知圆与直线相切，点为圆上一动点，轴于点，

且动点满足，设动点的轨迹为曲线 .

（1）求动点的轨迹曲线的方程；

【答案】（1）

8+y2

4=1.

试题解析：（I）设动点

M(x , y ), A (x0, y0)

，由于

AN ⊥x

轴于点

N .

∴N(x0,0).

又圆

C1：x2+y2=r2(r>0)

与直线

l0:y=1

2x+3

❑

√

即

x−2y+3❑

√

5=0

相切，

∴r=¿3❑

√

5∨¿

❑

√

1+4=3. ¿

∴圆

C1：x2+y2=9.

由题意，

⃗

OM +2

⃗

AM=(2❑

√

2−2)

⃗

，得

(x , y )+2(x−x0, y−y0)=(2❑

√

2−2)(x0,0),∴(3x−2x0,3y−2y0)=((2❑

√

2−2)x0,0).

∴{3x−2x0=(2❑

√

2−2)x0,

3y−2y0=0

即

∴{

x0=3x

2❑

√

y0=3y

将

A(3x

2❑

√

2,3y

代入

x2+y2=9

，得曲线

的方程为

8+y2

4=1.

3.设F(1,0)，M点在 x轴上，P点在 y轴上，且MN＝2MP，PM⊥PF，当点 P在y轴上运动时，求点 N的轨

迹方程．

【解析】解　设 M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，∵PM⊥PF，PM＝(x0，－y0)，PF＝(1，－y0)，

∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋y＝0.由MN＝2MP得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，∴，即.∴－x＋＝0，即

y2＝4x.故所求的点 N的轨迹方程是 y2＝4x.

【题型三】定义法

【典例分析】

已知动圆过定点，且与圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程．

【解析】依题意，，说明点到定点的距离的差为定值，∴动点的轨迹是双曲

线的一支，

∵ ，∴ ．∵ ，∴ ∴ 动圆圆心的轨迹方程是

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