专题9.3 椭圆、双曲线与抛物线方程（解析版）-【高考总复习】2023年高考数学满分训练必做题：基础+提升2000题（新高考专用）

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专题 9.3 椭圆、双曲线与抛物线方程

【1282】．（2022·天津·高考真题·★★★★）椭圆的右焦点为 F、右顶点为 A，上顶

点为 B，且满足．

(1)求椭圆的离心率；

(2)直线 l与椭圆有唯一公共点 M，与 y轴相交于 N（N异于 M）．记 O为坐标原点，若，且

的面积为，求椭圆的标准方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；

（2）由（1）可知椭圆的方程为，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联

立，由可得出，求出点的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得的

值，即可得出椭圆的方程.

（1）

解：，

离心率为 .

（2）

解：由（1）可知椭圆的方程为，

易知直线的斜率存在，设直线的方程为，

联立得，

由，①

，，

由可得，②

由可得，③

联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．

【1283】．（2020·山东·高考真题·★★★★）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分

别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据抛物线的焦点，求抛物线方程；（2）首先设出直线的方程为，与抛物线

方程联立，并利用韦达定理表示，并利用，求直线的斜率，验证后，即可得到

直线方程.

【详解】解：（1）由椭圆可知，，

所以，，则，

因为抛物线的焦点为，可设抛物线方程为，

所以，即 .

所以抛物线的标准方程为 .

（2）由椭圆可知，，

若直线无斜率，则其方程为，经检验，不符合要求.

所以直线的斜率存在，设为，直线过点，

则直线的方程为，

设点，，

联立方程组，

消去，得 .①

因为直线与抛物线有两个交点，

所以，即，

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