专题9.2 椭圆、双曲线、抛物线方程的基本性质（解析版）-【高考总复习】2023年高考数学满分训练必做题：基础+提升2000题（新高考专用）

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专题 9.2 椭圆、双曲线与抛物线方程的基本性质

【1222】．（2020·天津高考真题·★★★★）设双曲线的方程为，过抛物线

的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为

（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐

近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．

【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，

又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．

故选：．

【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，

属于基础题．

【1223】．（2022·全国·高考真题·多选题·★★★★）已知 O为坐标原点，点在抛物线

上，过点的直线交 C于P，Q两点，则（）

A．C的准线为 B．直线 AB 与C相切

C．D．

【答案】BCD

【分析】求出抛物线方程可判断 A，联立 AB 与抛物线的方程求交点可判断 B，利用距离公式及弦长公式可

判断 C、D.

【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；

，所以直线的方程为，

联立，可得，解得，故 B正确；

设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，

所以，直线的斜率存在，设其方程为，，

联立，得，

所以，所以或，，

又，，

所以，故 C正确；

因为，，

所以，而，故 D正确.

故选：BCD

【1224】．（2022·全国·高考真题·多选题·★★★★）双曲线 C的两个焦点为，以 C的实轴为直径的

圆记为 D，过作 D的切线与 C交于 M，N两点，且，则 C的离心率为（）

A．B．C．D．

【答案】AC

【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、

双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.

【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，

若分别在左右支，

因为，且，所以在双曲线的右支，

又，，，

设，，

在中，有，

故即，

所以，

而，，，故，

代入整理得到，即，

所以双曲线的离心率

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