专题9 立体几何中的表面积与侧面积问题（解析版）-2021年高考数学立体几何中必考知识专练

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专题 9：立体几何中的表面积与侧面积问题（解析版）

⑴ 圆柱侧面积；

S侧面=2π⋅r⋅l

⑵圆锥侧面积：

S侧面=π⋅r⋅l

⑶ 圆台侧面积：

S侧面=π⋅r⋅l+π⋅R⋅l

V柱体=S⋅h

V锥体=1

S⋅h

球的表面积和体积

S球=4πR2，V球=4

πR3

正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。　

正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。

1．在底面半径为 2，高为的圆锥中内接一个圆柱，且圆柱的底面积与圆锥的底面积

之比为 1：4，求圆柱的表面积.

【答案】

【分析】

由圆柱、圆锥的底面面积比可得圆柱的底面半径和高分别为 1、，进而求其表面积即可.

【详解】

由圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为 1:4，知：底面半径比为 1:2，

即圆柱底面半径，若设圆柱的高为，则有，即，

∴由圆柱的表面积等于侧面积加上两底面的面积，

即： .

【点睛】

本题考查了圆柱的表面积计算，由圆锥内接圆柱及底面面积比求圆柱表面积，属于简单题.

2．已知圆锥的底面半径为 1，高为，求圆锥的表面积.

【答案】 .

【分析】

先求圆锥的侧面积，再求底面积，即可得答案；

【详解】

解：设圆锥的母线长为，则，所以圆锥的表面积为 .

【点睛】

本题考查圆锥的表面积求解，考查运算求解能力，属于基础题.

3．已知圆台的上、下底面半径分别是 2，6，且侧面面积等于两底面面积之和.

（1）求圆台的母线长.

（2）求圆台的表面积.

【答案】（1）5（2）80π

【分析】

（1）由圆台的侧面积公式与两底面圆的面积之和的关系构建方程，求得母线；

（2）由（1）可得圆台的母线，再由圆台的表面积的公式求得答案.

【详解】

（1）设圆台的母线长为 l，则由题意得 π(2＋6)l＝π×22＋π×62，

∴8πl＝40π，∴l＝5，∴该圆台的母线长为 5；

（2）由（1）可得圆台的表面积为 S＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π.

【点睛】

本题考查由圆台的性质求圆台的母线与表面积，属于基础题.

4．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为 9和15，高是 5，求该直四棱柱的

侧面积.

【答案】160

【分析】

由于该直四棱柱的底面是菱形，所以求其中一个侧面的面积乘以 4即可，由菱形其对角线

垂直于勾股定理求得底面边长，再由矩形面积公式求得答案.

【详解】

如图，设底面对角线 AC＝a，BD＝b，交点为 O，对角线 A1C＝15，B1D＝9，

∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.

∵该直四棱柱的底面是菱形，

∴AB2＝＝＝＝64，∴AB＝8.

∴直四棱柱的侧面积 S＝4×8×5＝160.

【点睛】

本题考查求直四棱柱的侧面积，属于基础题.

5．若长方体的三个面的面积分别是，求：

（1）长方体的体对角线的长；

（2）长方体的表面积.

【答案】（1）.（2）

【分析】

（1）设长方体的长，宽，高分别为，根据已知条件列出方程，求出，

即可求出对角线；

（2）根据已知条件，即可求解.

【详解】

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