专题09 填空压轴题-备战2022年新高考之湖南模拟题分类汇编（原卷版）

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专题 09 填空压轴题

1．（2021•湖南模拟）已知点为棱长是 2的正方体的内切球的球面上的动点，点

为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为　　．

2．（2021•湖南模拟）在三棱锥中，平面，，，．三棱

锥的所有顶点都在球的表面上，则球的半径为　　；若点、分别是与

的重心，直线与球表面相交于、两点，则线段长度为　　．

3．（2021•湖南模拟）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外

接圆的圆心，已知，则当角取到最大值时的内切圆半径为　　．

4．（2021•湖南模拟）已知双曲线的离心率为 2，且双曲线与椭圆

有相同的焦点．点在双曲线上，过点分别作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为，，则

的最小值为　　．

5．（2021•湖南模拟）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓

等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体．关于“等腰四面体”，以下结论正确的序号是

．

①“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形；

②“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形；

③ 三组对棱长度分别为 5，6，7的“等腰四面体”的体积为；

④ 三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为．

6．（2021•永州二模）定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．

（1）设，则在上的“新驻点”为　　．

（2）如果函数与的 “ 新驻点 ” 分别为、，那么和的大小关系是

．

7．（2021•岳麓区校级二模）设，且关于的方程恰有三个互

不相等的实数根，，，则：

① 的取值范围是　　；

② 的取值范围是　　．

8．（2021•湖南模拟）电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止由科学和

技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算和

处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制．一个十进制数可以表示成二进制数

，即，其中，，，，

1，2，，，．用表示十进制数的二进制表示中 1的个数，则（7）　　；对任

意，　　．

9．（2021•湖南模拟）已知点是等边外一点，且点在所在平面内的射影恰好在边上，

若的边长为 2，三棱锥的外接球体积为，则三棱锥体积的最大值为

．

10．（2021•岳阳一模）已知函数对均有，若恒成立，则实数

的取值范围是　　．

11．（2021•湖南模拟）将 5个不同的小球全部放入编号为 1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放

的球的个数不大于其编号数，则共有　　种不同的放法．

12 ．（ 2021• 益阳模拟）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若

，则的取值范围为　　．

13．（2021•新邵县模拟）已知四棱台中，上、下底面都是正方形，下底面棱长为 2，其

余各棱长均为 1，则该四棱台的外接球的表面积为　　．

14．（2021•湖南模拟）已知为抛物线的一条长度为 8的弦，当弦的中点离轴最近时，直

线的斜率为　　．

15．（2021•常德一模）定义：点为曲线外的一点，，为上的两个动点，则取最大值时，

叫点对曲线的张角．已知点为抛物线上的动点，设对圆的张

角为，则的最小值为　　．

16．（2021•衡阳一模）阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离

之比为常数的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆．若平面内两定点、间的距离为

4，动点满足，则动点的轨迹所围成的图形的面积为　　；最大值是

．

17．（2021•长沙模拟）在平面直角坐标系中，已知，为圆上两个动点，

且．若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为　　．

18．（2021•湖南模拟）已知双曲线的左、焦点分别为，，过作直线与双

曲线交于点，，且，则双曲线的离心率为　　．

19．（2021•岳麓区校级模拟）设，是不相等的两个正数，且，则的取值范围

为　　．

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