专题09 填空压轴题-备战2022年新高考之湖南模拟题分类汇编（解析版）
专题 09 填空压轴题
1．（2021•湖南模拟）已知点 为棱长是 2的正方体 的内切球 的球面上的动点，点
为 的中点，若满足 ，则动点 的轨迹的长度为 ．
【答案】
【详解】如图，正方体 的内切球 的半径 ，
由题意，取 的中点 ，连接 ，则 ， ，
所以 平面 ，
所以动点 的轨迹是平面 截内切球 的交线，
也即平面 截内切球 的交线，
因为正方体 的棱长是 2，
所以 到平面 的距离为 ，
截面圆的半径 ，
所以动点 的轨迹的长度为截面圆的周长为 ．
故答案为： ．
2．（2021•湖南模拟）在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ．三棱
锥 的所有顶点都在球 的表面上，则球 的半径为 ；若点 、 分别是 与
的重心，直线 与球 表面相交于 、 两点，则线段 长度为 ．
【答案】
【 详 解 】 因 为 三 棱 锥 中 ， 平 面 ， ， ， ，
所以将三棱锥 放入一个棱长为 1的正方体中，
则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，
因为正方体的体对角线即为其外接球的直径，
所以外接球的半径为 ；
以点 为坐标原点， ， ，过点 的侧棱所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则有 ，球心 ，
所以 ，
所以 ，
则有 ，
所以 ，
则根据圆的弦长公式可得 ．
故答案为： ．
3．（2021•湖南模拟）已知在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，点 为其外
接圆的圆心，已知 ，则当角 取到最大值时 的内切圆半径为 ．
【答案】
【详解】如图，设 的中点为 ，
则
，又 ，
所以 ，由 知， 为锐角，
故
，当且仅当 ，即 时，等号成立，
由 在 上的单调递减，此时 最大，
且有 ，即 为直角三角形，
所以内切圆半径 ．
故答案为： ．
4．（2021•湖南模拟）已知双曲线 的离心率为 2，且双曲线 与椭圆
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2025-05-28 113
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