专题09 利用导数解决零点问题（原卷版）-2022届高考数学一模试题分类汇编（新高考卷）

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09 利用导数解决零点问题
【2022 届新高考一模试题分类汇编】
一、解答题
1．（2022·安徽·六安一中高二开学考试）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求 在 上的最小值；
(3)当 时，求函数 在 上零点的个数.
2．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)讨论函数 的零点个数.
【解析】 (1)函数 的定义域为 ， .
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递减；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
(2)令 ，得 .
令 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 ；当 时， ，
当 时， ，所以 ，
所以函数 的图象如图所示，由图可得，
当 时，直线 与函数 的图象没有交点，函数 没有零点；
当 或 时，直线 与函数 的图象有 1个交点，函数 有 1个零点；
当 时，直线 与函数 的图象有 2个交点，函数 有 2个零点.
3．（2022·安徽·蒙城县第六中学高三开学考试（理））已知函数 .
(1)若 ，求证： 恒成立；
(2)当 时，求 零点的个数.
4．（2022·全国·模拟预测）已知函数 （其中 ， 为参数）.
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 ，函数 有且仅有 2个零点，求 的取值范围.
5．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有三个不同的零点，求 a的取值范围.
6．（2022·天津红桥·高二期末）已知函数 ，其中 为常数， ．
(1)求 单调区间；
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