专题09 【大题限时练9】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 09 大题限时练 9
1．已知等差数列
{ }
n
a
满足
1
2 3 5
n n
a a n
 
．
（1）求数列
{ }
n
a
的通项公式；
（2）记数列
1
1
n n
a a
 
 
 
的前
n
项和为
n
S
．若
*
n N 
，
2
4 (
n
S
 
 
为偶数），求
的值．
【答案】（1）
1
n
a n 
；（2）
2
【详解】（1）设等差数列
{ }
n
a
的公差为
，因为
1
2 3 5
n n
a a n
 
，
所以
1 2
2 3
2 8
2 11
a a
a a
 
 
，即
1
1
3 2 8
3 5 11
a d
a d
 
 
，
解得
12a
，
1d
，
所以
2 ( 1) 1 1
n
a n n  
，
所以数列
{ }
n
a
的通项公式为：
1
n
a n 
；
（2）由（1）得，
1
1 1 1 1
( 1)( 2) 1 2
n n
a a n n n n
 
 
，
所以
1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
2 3 3 4 1 2 2 2 2
n
Sn n n
 
 
．
因为
*
n N 
，
2
4 (
n
S
 
 
为偶数），
所以
2
1
42
 
  …
，即
2
7
( 2) 2
„
，解得
14 14
2 2
2 2
 „ „
，
又
为偶数，
所以
2
．
2．在①
( )( )b a c b a c ac   
；②
cos( ) sin( )A B A B 
；③
tan sin
2
A B C
这三个条件中任选两个，
补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求
b
的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在
ABC
，它的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
2 2a
，____，？
【答案】见解析
【详解】选择①②，
因为
( )( )b a c b a c ac   
，
所以
2 2 2
a c b ac 
，
由余弦定理，得
2 2 2
1
cos 2 2
a c b
Bac
 
 
，
因为
0B
 
，所有
3
B
，
因为
cos( ) sin( )A B A B 
，
所以
cos( ) sin( )
3 3
A A
 
 
，
即
1 3 1 3
cos sin sin cos
2 2 2 2
A A A A  
，
所以
sin cosA A
，即
tan 1A
，
因为
0A
 
，
所以
4
A
，
ABC
中，由正弦定理得，
sin sin
a b
A B
，
即
2 2
sin sin
4 3
b
 
，
所以
3
2 2 22 3
2
2
b
 
，
选择①③
( )( )b a c b a c ac   
，
所以
2 2 2
a c b ac 
，
由余弦定理，得
2 2 2
1
cos 2 2
a c b
Bac
 
 
，
因为
0B
 
，所有
3
B
，
因为
tan sin
2
A B C
，
又
sin cos
2 2
tan tan
2 2 cos sin
2 2
C C
A B C
C C
 
 
，
所以
cos 2sin 2 sin cos
2 2
sin 2
C
C C
C
C 
，
因为
C
为三角形内角，
cos 0
2
C
，
sin 0
2
C
所以
2
1
sin 2 2
C
，
所以
2
sin 2 2
C
，则
2
C
，
Rt ABC
中，
tan 2 6
3
b a
 
，
选②③，
因为
cos( ) sin( )A B A B 
，
所以
cos cos sin sin sin cos sin cosA B A B A B B A 
，
所以
(sin cos )(sin cos ) 0A A B B  
，
所以
sin cosA A
或
sin cosB B 
，
因为
A
，
B
为三角形内角，
所以
3
4
B
或
4
A
因为
tan sin
2
A B C
，且
sin cos
2 2
tan tan
2 2 cos sin
2 2
C C
A B C
C C
 
 
，
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