专题8-5 立体几何大题15种归类（平行、垂直、体积、动点、最值等非建系）-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

3.0 envi 2025-03-06 4 4 4.62MB 54 页 3知币

专题 8-5：立体几何大题 15 种归类

（平行、垂直、体积、动点、最值等非建系题型）

一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1

【题型一】平行 1：四边形法证线面平行.......................................................................................................1

【题型二】平行 2：中位线法证线面平行.......................................................................................................3

【题型三】平行 3：做平行平面法证线面平行...............................................................................................5

【题型四】平行 4：难题--线面平行探索型.....................................................................................................7

【题型五】平行 5：证面面平行......................................................................................................................10

【题型六】平行：难题---面面平行探索性题型............................................................................................12

【题型七】垂直 1：线面垂直..........................................................................................................................16

【题型八】垂直 2：面面垂直..........................................................................................................................18

【题型九】垂直 3：难题--垂直探索性题型...................................................................................................20

【题型十】垂直 4：翻折中的垂直..................................................................................................................24

【题型十一】体积 1：常规求法和等体积转化型.........................................................................................26

【题型十二】体积 2：难题---多面体割补型.................................................................................................28

【题型十三】体积 3：难题--两部分体积比型...............................................................................................32

【题型十四】体积 4：难题--动点型...............................................................................................................35

【题型十五】体积 5：难题--最值型...............................................................................................................38

二、最新模考题组练...................................................................................................................................................41

本专题涉及到平行和垂直的证明分类时，答案只提供平行、垂直证明这一问。

【题型一】平行 1：四边形法证线面平行

【典例分析】

如图，在正方体中，E，F分别是，CD 的中点．

（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】(1)取中点 G，连接 FG，，证四边形是平行四边形，结合线面平行的判定即可推理

作答.

（1）在正方体中，取中点 G，连接 FG，，如图，

而F是CD 的中点，则，，又 E是的中点，则，，

因此，，，四边形是平行四边形，有，而平面，平

面，平面.

【提分秘籍】

基本规律

1.利用平移法做出平行四边形

2.利用中位线做出平行四边形

【变式演练】

1.如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PC⊥底面 ABCD，，，，E是

PB 的中点.（1）求证：平面 PAD；

（2）若，求三棱锥 P-ACE 的体积.

【答案】（1）证明见解析（2）

【分析】（1）取 PA 的中点 F，连接 EF，DF，利用平行四边形证明，再由线面平行的判定定理即

可得证；

（2）根据等体积法知，即可由棱锥体积公式求解.

（1）取 PA 的中点 F，连接 EF，DF， ∵点 E，F分别为 PB，PA 的中点，∴

，，又∵ ，，∴ ，，∴四边形 EFDC 是平行四边

形，

∴，又∵ 平面 PAD，平面 PAD，∴ 平面 PAD；

2.如图，在四棱锥中，面，，且，，，，

，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成二面角的余弦值；

（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出

的值，若不存在说明理由．

【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，

【分析】

（1）只要证明 AN 所在平面 ANE 与平面 PBC 平行即可；

（2）建立空间直角坐标系，用向量法计算二面角的余弦值；

（3）用向量法计算直线与平面成角的正弦值，然后列方程求解．

（1）

证明：取 CP 中点 F，连接 NF、BF，

因为 F，N分为 PC，PD 的中点，则，且，

又，且，，所以四边形 NABF 是平行四边形，

，又面 PBC，面 PBC

。

所以 AN∥平面 PBC；

【题型二】平行 2：中位线法证线面平行

【典例分析】

.如图，四棱锥中，侧面底面，底面为梯形，，且

，.交于点，为的重心.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析（2）

【分析】（1）连接并延长交于点，连接，由已知条件可得，得，

再由为的重心，，则有，从而可得，再由线面平行的判定可证得

结论，

（2）由已知可得和为正三角形，连接并延长交于点，有，则面

，从而可得，然后由已知条件求解，

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