专题8-4 立体几何中求角度、距离类型-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

3.0 envi 2025-03-06 17 4 4.84MB 53 页 3知币

专题 8-4 立体几何求角度、距离类型

一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1

【题型一】求异面直线所成的角......................................................................................................................1

【题型二】求直线和平面所成角......................................................................................................................5

【题型三】求二面角的平面角..........................................................................................................................9

【题型四】翻折中的角度................................................................................................................................13

【题型五】三种角度之间的相互关系............................................................................................................18

【题型六】三种角度比大小............................................................................................................................22

【题型七】球中的角度.....................................................................................................................................27

【题型八】压轴小题中的角度题型................................................................................................................31

【题型九】距离.................................................................................................................................................39

二、最新模考题组练...................................................................................................................................................43

【题型一】求异面直线所成的角

【典例分析】

如图，已知，分别是正四面体的侧面与侧面上动点（不包含侧面边界），则异面直线

，所成角不可能的是

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】取的中点，根据线面垂直判定定理可得平面，进一步可得平面然后

计算直线与平面所成角，最后进行判断即可.

【详解】另设正四面体的边长为 2，取的中点，连接，并作，连接

如图在该正四面体中，有

所以，，平面

所以平面，又平面

所以，由，平面

所以平面，则与平面所成的角为

又，则

所以，则

所以，所以所以若点为点，与平面所成的角要大于

则当在平面内运动时，与所成角要大于

所以，在侧面与侧面运动，与所成角要大于故选：A

【提分秘籍】

基本规律

异面直线求解：

（1）平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）证明作出的角就是所求异面直线所成的角（小题可跨越这一步）；

（3）求该角的值，常利用正余弦定理解三角形求得；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面

直线所成的角．

（5）也可以建系求：异面直线夹角（平移角，也是锐角和直角）

【变式演练】

1.从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线 a，b，且 a，b是异面直线，则 a，b所成角的余弦值的所

有可能取值构成的集合是（）

A．； B．

C．； D．．

【答案】D

【分析】

利用异面直线的定义，从正方体的八个顶点两两连线中任取两条异面直线，可以分类讨论其夹角可能取值，

进而得解.

【详解】

利用异面直线的夹角范围为，故其余弦值范围为，可以分为以下几类：

两条棱所在直线异面时，所成角的度数是，其余弦值为 0；

面对角线与棱所在直线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或 0；

两条面对角线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或 0；

体对角线与棱所在直线异面时，所成角的余弦值为；

体对角线与面对角线异面时，所成角的度数是，其余弦值为 0；

所以从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线 a，b，且 a，b是异面直线，则 a，b所成角的余弦值的

所有可能取值构成的集合是故选：D

2.如图，已知正三棱锥，，，点，分别棱，上

（不包含端点），则直线，所成的角的取值范围是______.

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