专题8-4 立体几何中求角度、距离类型 -2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（原卷版）

3.0 envi 2025-03-06 4 4 1.35MB 15 页 3知币

专题 8-4 立体几何求角度、距离类型

一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1

【题型一】求异面直线所成的角......................................................................................................................1

【题型二】求直线和平面所成角......................................................................................................................2

【题型三】求二面角的平面角..........................................................................................................................4

【题型四】翻折中的角度...................................................................................................................................5

【题型五】三种角度之间的相互关系..............................................................................................................7

【题型六】三种角度比大小..............................................................................................................................8

【题型七】球中的角度.......................................................................................................................................9

【题型八】压轴小题中的角度题型................................................................................................................10

【题型九】距离.................................................................................................................................................11

二、最新模考题组练...................................................................................................................................................12

【题型一】求异面直线所成的角

【典例分析】

如图，已知，分别是正四面体的侧面与侧面上动点（不包含侧面边界），则异面直线

，所成角不可能的是

A．B．C．D．

【提分秘籍】

基本规律

异面直线求解：

（1）平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）证明作出的角就是所求异面直线所成的角（小题可跨越这一步）；

（3）求该角的值，常利用正余弦定理解三角形求得；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面

直线所成的角．

（5）也可以建系求：异面直线夹角（平移角，也是锐角和直角）

【变式演练】

1.从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线 a，b，且 a，b是异面直线，则 a，b所成角的余弦值的所

有可能取值构成的集合是（）

A．； B．

C．； D．．

2.如图，已知正三棱锥，，，点，分别棱，上

（不包含端点），则直线，所成的角的取值范围是______.

3.在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点为正方形

内部的一点，且，则直线与所成角的余弦值的取值范围为

A．B．C．D．

【题型二】求直线和平面所成角

【典例分析】

如图，在四棱锥 P−ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AB CD∥，AD＝CD＝，AB＝，PA＝

，DA AB⊥，点 Q在PB 上，且满足 PQ QB=1 3∶ ∶ ，求直线 CQ 与平面 PAC 所成角的正弦值．

【提分秘籍】

基本规律

求直线与平面所成的角的一般步骤：

（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即

可确定线面角；

（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面

角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；

（3）通过建系，利用坐标系向量求解：直线与平面所成的角（射影角，也是夹角，），

【变式演练】

1.如图，已知，分别是圆柱上下底面圆的直径，且､，若该圆柱的侧面积是其上底面面积

的倍，则与平面所成的角为（）

A．B．C．D．

2.设正方体棱长为 1，平面经过顶点，且与棱 AB､AD､所在直线所成的角都相等，

则满足条件的平面共有（）个.

A．1 B．2 C．3 D．4

3.如图，在四面体 VABC 中，已知 VA⊥平面 VBC，VA 与平面 ABC 所成的角为 45°，D是BC 上一动点，

设直线 VD 与平面 ABC 所成的角为 θ，则（）

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