专题8-3 一网打尽外接球-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（原卷版）

3.0 envi 2025-03-06 4 4 3.82MB 35 页 3知币

专题 8-3 一网打尽外接球

一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1

【题型一】长方体模板 1：三线垂直................................................................................................................1

【题型二】长方体模板 2：三种构造................................................................................................................3

【题型三】直棱柱模板：线面垂直（重点）..................................................................................................6

【题型四】垂面型...............................................................................................................................................9

【题型五】万能模板：外心垂线相交型（难点）........................................................................................11

【题型六】特殊几何体：正三棱锥和正四面体............................................................................................15

【题型七】四棱锥.............................................................................................................................................17

【题型八】组合体外接球................................................................................................................................19

【题型九】球定义法.........................................................................................................................................21

【题型十】圆锥和圆柱外接球........................................................................................................................25

二、最新模考题组练...................................................................................................................................................27

【题型一】长方体模板 1：三线垂直型

【典例分析】

三棱锥中，平面 ABC，且，且，三棱锥的外接球表面

积为（）

A．16π B．20π C．D．24π

【答案】D

【分析】将三棱锥放入一个长方体中，求出长方体的体对角线，则得到长方体外接球的直径，利用球的表

面积公式求解即可．

解：因为三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥平面 ABC，AB⊥BC，

不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，

因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，因为 PA＝AB＝2，，

则长方体的长宽高分别为 4，2，2，所以三棱锥 P﹣ABC 外接球的半径，

故三棱锥

﹣

ABC

外接球的表面积

＝4π

2＝24π．故选：

．

【提分秘籍】

基本规律

1.三线垂直图形

计算公式：三棱锥三线垂直还原成长方体

【变式演练】

1.四棱锥中，底面为矩形，体积为，若平面，且，则四棱锥

的外接球体积的最小值是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】设底面长和宽分别为 ,利用四棱锥的体积求得，结合基本不等式求得外接球直径的最

小值，由此求得外接球体积的最小值.

【详解】设底面长和宽分别为、，，即，四棱锥外接球的直径

，当且仅当时，上式取等号，即，

故四棱锥的外接球的体积最小值为 .故选：D

2.一个多面体的三视图和直观图如图所示，是的中点，一只小蜜蜂在几何体的外接球内

自由飞翔，则它飞入四面体内的概率为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】由三视图可知该几何体为直三棱柱，且底面为等腰直角三角形，所求概率为四面体的体与

三棱柱外接球的体积比

【详解】

由三视图可知该几何体为直三棱柱，且底面为等腰直角三角形，侧面为边长为

的正方形，侧面为矩形

所以三棱柱外接球的球心为矩形对角线的交点，则外接球的直径为

，所以半径，所以三棱柱外接球的体积

因为，

所以它飞入四面体内的概率为 ,故选：D

3.在三棱锥中，点在平面中的投影是的垂心，若是等腰直角三角形且

，，则三棱锥的外接球表面积为___________

【答案】

【分析】

设的垂心为，由平面可证明，，，结合推导出

，，两两互相垂直，则外接球半径满足，求出代入求解即可得出答

案．

【详解】

解：设的垂心为，连接，则平面，如图所示：

由垂心知，，又，，则平面，又平面，

所以，

又，，所以平面，又平面，得，

同理，则，

所以，，两两互相垂直，设三棱锥的外接球半径为，

则，所以，球的表面积为．故答案为： .

【题型二】长方体模板 2：构造长方体 3个模型

【典例分析】

已知在四面体中，，则四面体的外接球表面积为__

____.

【答案】

【分析】

把四面体补成为一个长方体，利用长方体求出外接球的半径，即可求出外接球表面积.

【详解】

对于四面体中，因为，

所以可以把四面体还原为一个长方体，如图：

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