专题8.3 线面角、二面角（解析版）-【高考总复习】2023年高考数学满分训练必做题：基础+提升2000题（新高考专用）

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专题 8.3 线面角、二面角
【1145】．（2022·天津·高考真题·★★★★）
直三棱柱 中， ，D为 的中点，E为 的中点，F
为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 所成二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
利用空间向量法可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可求得直线 与平面 夹角的正弦值；
（3）利用空间向量法可求得平面 与平面 夹角的余弦值.
（1）
证明：在直三棱柱 中， 平面 ，且 ，则
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 、 、 、 、 ，
则 ，
易知平面 的一个法向量为 ，则 ，故 ，
平面 ，故 平面 .
（2）
解： ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ， .
因此，直线 与平面 夹角的正弦值为 .
（3）
解： ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，则 ，
因此，平面 与平面 夹角的余弦值为 .
【1146】．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱 的体积为 4， 的面积为 ．
(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等体积法运算即可得解；
（2）由面面垂直的性质及判定可得 平面 ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
（1）
在直三棱柱 中，设点 A到平面 的距离为 h，
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