专题8.2 平行与垂直的证明（解析版）-【高考总复习】2023年高考数学满分训练必做题：基础+提升2000题（新高考专用）

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专题 8.2 平行与垂直的证明
考点一 直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的
一条直线平行，则该直线与此
平面平行(线线平行⇒线面平行)
∵l∥a，a⊂α，l⊄α，
∴l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则
过这条直线的任一平面与此平
面的交线与该直线平行(线面平
行⇒线线平行)
∵l∥α，l⊂β，α∩β＝
b，
∴l∥b
考点二 平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一
个平面平行，则这两个平面平行
(线面平行⇒面面平行)
∵a∥β，b∥β，a
∩b＝
P，a⊂α，b⊂α，
∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平
面相交，那么它们的交线平行
∵α∥β，α∩γ＝
a，β∩γ＝
b，∴a∥b
考点三 直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果一条直线 l与平面 α内的任意直线都垂直，就说直线 l与平面 α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理
一条直线与一个平面内的
两条相交直线都垂直，则该直
线与此平面垂直
⇒l⊥α
性质定理
两直线垂直于同一个平
面，那么这两条直线平行
⇒a∥b
考点四 平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定
定理
一个平面经过另一个平面的一条
垂线，则这两个平面互相垂直
⇒α⊥β
性质
定理
如果两个平面互相垂直，则
在一个平面内垂直于它们交线的
直线垂直于另一个平面
⇒l⊥α
【1087】．（2022·全国·高考真题·★★★）在正方体 中，E，F分别为 的中点，则
（）
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
【答案】A
【分析】证明 平面 ，即可判断 A；如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，设 ，分
别求出平面 ， ， 的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断 BCD.
【详解】解：在正方体 中，
且 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 分别为 的中点，
所以 ，所以 ，
又 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ，故 A正确；
选项 BCD 解法一：
如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，设 ，
则 ，
，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
同理可得平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
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