专题08向量方法解决角和距离（练）【原卷版】（理科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 08 立体几何中的角和距离（练）（理）
1．【2021·全国高考真题】如图，在三棱锥
A BCD
中，平面
ABD
平面
BCD
，
AB AD
，
O
为
BD
的中点.
（1）证明：
OA CD
；
（2）若
OCD
是边长为 1的等边三角形，点
在棱
AD
上，
2DE EA
，且二面角
E BC D 
的
大小为
45
，求三棱锥
A BCD
的体积.
2．【2021·浙江高考真题】如图，在四棱锥
P ABCD
中，底面
ABCD
是平行四边形，
120 , 1, 4, 15ABC AB BC PA  
，M，N分别为
,BC PC
的中点，
,PD DC PM MD 
.
（1）证明：
AB PM
；
（2）求直线
AN
与平面
PDM
所成角的正弦值.
3．【2021·全国高考真题（理）】已知直三棱柱
1 1 1
ABC A B C
中，侧面
1 1
AA B B
为正方形，
2AB BC 
，E，F分别为
AC
和
1
CC
的中点，D为棱
1 1
A B
上的点．
1 1
BF A B
（1）证明：
BF DE
；
（2）当
1
B D
为何值时，面
1 1
BB C C
与面
DFE
所成的二面角的正弦值最小?
4．【2021·全国高考真题（理）】如图，四棱锥
P ABCD
的底面是矩形，
PD
底面
ABCD
，
1PD DC 
，
M
为
BC
的中点，且
PB AM
．
（1）求
BC
；
（2）求二面角
A PM B 
的正弦值．
5．【2021·北京高考真题】已知正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D
，点
为
1 1
A D
中点，直线
1 1
B C
交平面
CDE
于点
F
．
（1）证明：点
F
为
1 1
B C
的中点；
（2）若点
M
为棱
1 1
A B
上一点，且二面角
M CF E 
的余弦值为
5
3
，求
1
1 1
A M
A B
的值．
6．【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直
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