专题08向量方法解决角和距离（讲）【原卷版】（理科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 08 立体几何中的角和距离（讲）（理）

高考定位　以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，

热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确

计算上.

1.(2021·全国乙卷)如图，四棱锥 P－ABCD 的底面是矩形，PD⊥底面 ABCD，PD＝DC＝1，M为

BC 的中点，且 PB⊥AM.

(1)求BC；

(2)求二面角 A－PM－B的正弦值.

2.(2021·天津卷)如图，在棱长为 2的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E为棱 BC 的中点，F为棱 CD

的中点.

(1)求证：D1F∥平面 A1EC1；

(2)求直线 AC1与平面 A1EC1所成角的正弦值；

(3)求二面角 A－A1C1－E的正弦值.

3.(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，点 E，F分别在棱 DD1，BB1上，且 2DE

＝ED1，BF＝2FB1.证明：

(1)当AB＝BC 时，EF⊥AC；

(2)点C1在平面 AEF 内.

4.(2021·全国乙卷)如图，四棱锥 P－ABCD 的底面是矩形，PD⊥底面 ABCD，M为BC 的中点，

且PB⊥AM.

(1)证明：平面 PAM⊥平面 PBD；

(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥 P－ABCD 的体积.

一、考向分析：

立体几何

异面直线角线面角二面角

二、考向讲解

考查内容解题技巧

用向量解决

位置关系问

题

设直线 l的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α，β的法向量分别为 μ＝

(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则

(1)线面平行

l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.

(2)线面垂直

l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.

(3)面面平行

α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.

(4)面面垂直

α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.

(1) 线线夹

角

设直线 l，m的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面 α，β的

法向量分别为 μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同).

(1)线线夹角

设l，m的夹角为 θ，则

cos θ＝＝

线面所成

的角

(2)线面所成的角

设直线 l与平面 α的所成的角为 θ，则

sin θ＝＝|cosa，μ|.

二面角 (3)二面角

设α－a－β的平面角为 θ(0≤θ≤π)，

则|cos θ|＝＝|cosμ，v|.

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