专题08向量方法解决角和距离（讲）【解析版】（理科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 08 立体几何中的角和距离（讲）（理）

高考定位　以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，

热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确

计算上.

1.(2021·全国乙卷)如图，四棱锥 P－ABCD 的底面是矩形，PD⊥底面 ABCD，PD＝DC＝1，M为

BC 的中点，且 PB⊥AM.

(1)求BC；

(2)求二面角 A－PM－B的正弦值.

解　(1)连接 BD 交AM 于点 E，

因为 PD⊥底面 ABCD，AM⊂平面 ABCD，所以 PD⊥AM，

又因为 PB⊥AM，PB∩PD＝P，PB，PD⊂平面 PBD，

所以 AM⊥平面 PBD，

因为 BD⊂平面 PBD，所以 AM⊥BD，

设BC＝x，因为 M为BC 的中点，

则BM＝MC＝BC＝x，

因为 AB⊥AD，AM⊥BD，所以△DAB∽△ABM，

所以＝，即＝，解得 x＝.

所以 BC＝.

(2)由题意 DA，DC，DP 两两互相垂直，以 D为原点，DA 为x轴，DC 为y轴，DP 为z轴建立如

图空间直角坐标系.

所以 A(，0，0)，P(0，0，1)，B(，1，0)，M，

所以AP＝(－，0，1)，AM＝，

BP＝(－，－1，1)，BM＝，

设平面 APM 的法向量 m＝(x1，y1，z1)，

可得即

令y1＝1，得到所以 m＝(，1，2)，

设平面 BPM 的法向量 n＝(x2，y2，z2)，

所以即

令y2＝1，得到所以 n＝(0，1，1)，

所以 cos 〈m，n〉＝＝＝，

所以 sin 〈m，n〉＝.

即二面角 A－PM－B的正弦值为.

2.(2021·天津卷)如图，在棱长为 2的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E为棱 BC 的中点，F为棱 CD

的中点.

(1)求证：D1F∥平面 A1EC1；

(2)求直线 AC1与平面 A1EC1所成角的正弦值；

(3)求二面角 A－A1C1－E的正弦值.

(1)证明　以A为原点，AB，AD，AA1分别为 x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，

则

A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，C1(2，2，2)，D1(0，2，2).

因为 E为棱 BC 的中点，F为棱 CD 的中点，所以 E(2，1，0)，F(1，2，0)，

所以D1F＝(1，0，－2)，A1C1＝(2，2，0)，A1E＝(2，1，－2).

设平面 A1EC1的法向量为 m＝(x1，y1，z1)，

则即令 x1＝2，则 y1＝－2，z1＝1，即 m＝(2，－2，1).

因为D1F·m＝2－2＝0，所以D1F⊥m.

因为 D1F⊄平面 A1EC1，所以 D1F∥平面 A1EC1.

(2)解　由(1)得，AC1＝(2，2，2).

设直线 AC1与平面 A1EC1所成角为 θ，

则sin θ＝|cos 〈m，AC1〉|＝＝＝，即直线 AC1与平面 A1EC1所成角的正弦值为.

(3)解　由正方体的特征可得，平面 AA1C1的一个法向量为DB＝(2，－2，0)，

则cos〈DB，m〉＝＝＝，

所以二面角 A－A1C1－E的正弦值为＝.

所以 A1D与D1B异面且垂直.

因为平面 ABCD 的一个法向量为 n＝(0，0，1)，所以MN·n＝0，又 MN⊄平面 ABCD，所以 MN∥

平面 ABCD.

设直线 MN 与平面 BB1D1D所成的角为 θ，因为平面 BDD1B1的一个法向量为 a＝(－1，1，0)，所

以sin θ＝|cos〈MN，a〉|＝＝＝，所以直线 MN 与平面 BB1D1D不垂直.故选 A.

3.(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，点 E，F分别在棱 DD1，BB1上，且 2DE

＝ED1，BF＝2FB1.证明：

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